基本不等式复习1
〖基础知识〗
1.两个重要不等式：，,当且仅当？
2.基本不等式：，,一正、二定、三相等，当且仅当？
3.利用基本不等式求最值：积定，和最小；和定，积最大.
4.常用推论
(1)对勾函数；
(2)柯西不等式：，当且仅当？
(3)四个平均数的比较：，，关注变形：
〖典型例题〗
题型一
对“一正、二定、三相等”的理解
例1
下列结论正确的是(
)【答案】B
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．当时，
题型二、利用基本不等式证明一些不等式
例2（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是(
)
【答案】AD
A．
B．
C．D．
【解析】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.故选AD.
题型三、方法与技巧
[技巧一]含“与”形式
例3
（1）已知，且，则的最小值为
．【答案】
?（2）若，则的最小值
．【答案】
【变式训练】
1、若正数满足，则的最小值为
．【答案】3（）
2、已知正数满足，则的取值范围为
，的最小值为
．
解析：①
用表示，解不等式组，得；
②
，因为，
3、已知为正实数，且，则的最小值
．
解析：，
[技巧二]
解关于的不等式
例4
（1）已知，，，则的最小值
．【答案】4
?（2）设为实数，若，则的最大值
．【答案】
【变式训练】
1、若实数满足，则的最小值为
．【答案】
2、已知非零实数满足，则的取值范围为
．
解析：
当时
，
所以
3、若正实数、满足，则的最大值为__________．
解析：令，则，由得：
，∴，∴，∴，从而
技巧三、柯西不等式
，当且仅当时等号成立；
例5
已知，且，则的最大值为
．【答案】
解析：，∴，即
【变式训练】
1、设正数满足，则
．
解析：
，当且仅当即时等号成立,又由题干不等式可得：，所以，
此时，。所以
2、函数的最大值为
．
解析：由柯西不等式得，当且仅当时取等号.
技巧四、代入消元
例6
若实数满足，则的最小值为__________．
解析：，
【变式训练】
1、设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为_________．
解析：，所以，当且仅当且时取到最大值，代入可得，所以最大值为1。
2、已知实数满足，，则的最大值为_________．
解析：因为，代入第二个等式可得关于的方程，，
，所以
〖课堂反馈〗
班级
学号
姓名
1.(多选)下列结论正确的是（
）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
【答案】AD
【解析】对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.
2.(多选)已知，，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD【解析】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；B．因为，取等号时，故正确；C．因为，取等号时，故错误；D．因为，所以，取等号时，故正确.故选：ABD.
3.(多选)设，，且，那么
A．有最小值
B．有最大值
C．有最大值．
D．有最小值．
【答案】AD【解析】，，，当时取等号，
，解得，，有最小值；，当时取等号，，
，，解得，即，
有最小值．故选：．
4.(多选)下列各小题中，最大值是的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC【解析】解：对于A，y没有最大值；对于B，y2＝x2（1﹣x2）≤＝，y≥0，∴y≤，当且仅当x＝时取等号.对于C，x＝0时，y＝0.x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号.对于D，y＝x+2+﹣2≥2﹣2＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等号.故选：BC.
5.(多选)已知，则的值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD【解析】由，得，则且.
当时,
==.当且仅当即
时取等号.
当时,
=
=.当且仅当即
时取等号.
综上，.故选：C
D.
6.已知，且，则的最小值为
，此时
．
解析：
因为，所以，当且仅当
即时，等号成立，结合可得
7.已知满足，当取最大值时，
．
解析：不妨设，由等式可得，所以
所以当时，最大
8.设，且恒成立，则的最大值
．
解析：，又，故
9.已知实数满足，且，则的最小值是
．25
解析：∵，则，故，
即，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为
10.已知正实数满足，则的最大值是
．
解析：
得，∴
11.设正数、满足，，则的最小值为
．
解析：
令，，则，∴
12.已知正数、满足，则的取值范围是
．
解析：，因为为正数，所以
从而，所以，所以，
13.已知正实数满足，则的最大值为_________．
解析：，∴，∴，∴，
当且仅当时，即等号成立
14.实数满足，则的最大值为__________．
解析：由，可得，设，
则，因为，所以
即，因为，所以，
15.设是正实数，且，则的最小值为
解析1：因为，所以
解析2：令，，则，
因为，所以
16.已知，，满足，则的最小值是
．【答案】
解析：由得，，则
17.设正数满足，则
，
．
解析：由，得，∴，∴，
18.已知均为正数，且，求的最大值是
．
解析：由，
即，∴
19.若实数，满足，则的取值范围为
．【答案】
解析：由得，解得，∴
20.已知，且，求的最大值为
．
解析：由，
即，∴
21.已知实数，则的取值范围为
．
解析：，即，∴或
22.已知，，则的最大值是
.
解析：法一（待定系数）由于，
又因为，令（），解得，
所以，所以，所以选A．
法二（等价消元）由于
，令，解得，即
，所以选A．
13．三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：
甲：，可用基本不等式求解；
乙：，可用二次函数配方法求解；
丙：，可用基本不等式求解；
参考上述思路，可求得当________时，（，）有最小值
【答案】
【解析】解：因为，，，所以
所以
当且仅当时，取等号即当时，有最小值
5、已知，则的最小值等于
．
解析：基本不等式复习2
[技巧五]分步求最值(检验同时取到)
例7
若，，则的最小值为_________．
解析：，当且仅当，即时取到最小值为4
【变式训练】
1、设，的最小值为
．
解析：,，当且仅当时取等号
2、设，则的最小值为__________．
解析：，
当且仅当，即取到最小值为12.
[技巧六]齐次化
例8
已知，且，则的最小值为__________．
解析：
【变式训练】
1、已知，，则的最小值为__________．
解析：
2、若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值为
．
解析：，令，则，
要使最小，则必有，令，则，
∵，∴，∴
[技巧七]凑系数
例9
若，则的最大值是_________．
解析：（），由解得，于是：，所以，当，，时取等号.
【变式训练】
1、已知，则的最小值时_________．
解析：原式
当且仅当时取到等号，所以答案为。
2、若正实数满足恒成立，则实数的最小值是_________．2
解析：，，令得，
∴，∴，∴
例10
某厂花费2万元设计了某款式的服装.根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）.
（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？
（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.
（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）
【答案】（1）1百套；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元.
【解析】（1）时，利润
.
令,得，又，即x的最小值为1，
则该厂至少生产百套此款式服装才可以不亏本.
（2）当时，由（1）知，
所以当时，万元）当时，利润
因为
（当且仅当，即时，取“=”），所以（万元）
综上，当时，（万元）.
答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；
（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元.
〖课堂反馈〗
班级
学号
姓名
1．设，，则三个数（
）
A．都小于4
B．至少有一个不大于4
C．都大于4
D．至少有一个不小于4
【答案】D
【解析】假设三个数且且，相加得：
，由基本不等式得：；；；
相加得：，与假设矛盾；所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4．故选．
2．（多选）若、、，且，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由基本不等式可得，，，
上述三个不等式全部相加得，，当且仅当时，等号成立，，或，若，则，
因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选：BD.
3.已知，且，的最大值是_________．
解析：所以
4.已知，则的最大值为__________．
解析：，令，则
5.已知，，，，则的最小值为_________．
解析：因为，所以
又因为，所以
6.已知，，则的最小值是_________．
解析：，∴
7.不等式对任意的实数恒成立，则实数的最大值为
．
解析：；；
；；等号当且仅当即时，.
8.若，则的最大值是__________．
解析：，令，
当且仅当即，时，等号成立
9.已知正数满足，则的最小值是_________．9
解析：∵，∴，∴
10.设，，则的最小值是________．
解析：∵，∴
∴
11.设，且满足，则的最大值是_________．
解析：运用待定系数法，设，，
则，则
即时取到最大值，则，
12.已知实数满足，则的最小值为________．
解析：要使取最小，则符号相反，为负数，，∴
当且仅当，时，取等号
13.若正实数满足恒成立，则实数的最小值是_________．
解析：，令，得，
∴，∴，∴
14．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为().已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和.
（1）试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每件销售价为.
∴年销售收入为.
∴年利润，().
（2）令()，则，.∵，∴，即，
当且仅当，即时，有最大值55，此时.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元.
