22.2平行四边形的判定第2课时
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．现有长为5
cm，5
cm，7
cm的三根木条，要想钉成一个平行四边形木框，则选用的第四根木条的长应为 (
)
A．5
cm
B．7
cm
C．2
cm
D．12
cm
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为(
)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AB＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
3．在四边形ABCD中，若AD＝8
cm，AB＝4
cm，则当BC＝
cm，CD＝
cm时，四边形ABCD为平行四边形．
4．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是
5．(2019·湘潭)如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件
，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
6．如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出?ABEC，其中E是格点．
(2)请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性．
知识点2 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．(2019·泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(
)
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
8．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(
)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC＝10，BD＝6，则当AO＝
，DO＝
时，四边形ABCD是平行四边形．
10．(2020·淮安)如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE.
(2)连接AE，CF，则四边形AECF是(填“是”或“不是”)平行四边形．
易错点 对平行四边形的判定方法掌握不牢导致判断错误
11．已知，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AD＝BC；④∠BAD＝∠BCD，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有(
)
A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
02 中档题
12．(2019·威海)如图，E是?ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(
)
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
13．在?ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．
14．(教材P129习题B组T2变式)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段EF过点O且分别交AD，BC于点E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形．
、
15．如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
03 综合题
16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F.若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
22.2平行四边形的判定第2课时
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．现有长为5
cm，5
cm，7
cm的三根木条，要想钉成一个平行四边形木框，则选用的第四根木条的长应为 (B)
A．5
cm
B．7
cm
C．2
cm
D．12
cm
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为(D)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AB＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
3．在四边形ABCD中，若AD＝8
cm，AB＝4
cm，则当BC＝8cm，CD＝4cm时，四边形ABCD为平行四边形．
4．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形．
5．(2019·湘潭)如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件AD＝BC(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
6．(原创题)如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出?ABEC，其中E是格点．
(2)请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性．
解：(1)?ABEC就是所要求作的图形．
(2)设小正方形方格的边长为1，
则AC＝，AB＝，BE＝，CE＝.
∴AC＝BE，AB＝CE.
∴四边形ABEC是平行四边形．
知识点2 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．(2019·泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
8．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(B)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC＝10，BD＝6，则当AO＝5，DO＝3时，四边形ABCD是平行四边形．
10．(2020·淮安)如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE.
(2)连接AE，CF，则四边形AECF是(填“是”或“不是”)平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠OAF＝∠OCE.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(ASA)．
易错点 对平行四边形的判定方法掌握不牢导致判断错误
11．已知，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AD＝BC；④∠BAD＝∠BCD，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有(D)
A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
12．(2019·威海)如图，E是?ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(C)
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
13．如图，在?ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．
解：如图，四边形EFGH，四边形AFCH和四边形BGDE是平行四边形．
14．(教材P129习题B组T2变式)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，线段EF过点O且分别交AD，BC于点E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO.
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△DOE≌△BOF(ASA)．
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
15．如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F.若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：延长AC及其反向延长线，使AM＝AE，CN＝CF.连接ME，NF.
∵AP＋AE＝CP＋CF，∴PM＝PN.
又∵PE＝PF，∠MPE＝∠NPF，
∴△PME≌△PNF(SAS)．
∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.
∵△AME，△CNF都是等腰三角形，
∴∠AEP＝∠CFP.∴AD∥BC.
可证得△PAE≌△PCF(ASA)，∴PA＝PC.
再证△PED≌△PFB.∴PD＝PB.
∴四边形ABCD是平行四边形．(共32张PPT)
22.2平行四边形的判定（2）
冀教版
八年级下
1、经历平行四边形的判别方法探索过程，
在活动中发展学生合情推理能力。
2、探索并掌握平行四边形的判定方法，
能根据判定方法进行有关的应用。
复习引入
到目前为止，我们已经学了平行四边形的那些判定方法呢?
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
新课导入
我们知道，平行四边形的对边相等，对角线互相平分，反过来，两组对边分别相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
B
第二十二章
四边形
大家齐动手
如图，将两两相等的的四根细木条用小钉绞合再一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形我们如何用推理的方法加以证明呢？
A
B
C
D
已知：在四边形ABCD中，
AB=CD
,
AD=BC
求证：四边形ABCD
是平行四边形
证明思路
1
2
3
4
AB∥CD,
AD
∥BC
∠1=∠2，∠3=∠4
⊿ABC≌⊿CDA
A
B
C
D
证明：连结AC
∴AB∥DC，AD∥BC
4
1
2
3
∴∠1=∠2
∠3=∠4
AC=CA(公共边)
∴△ABC
≌
△CDA
(SSS)
AD=BC(已知)
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形
.
AB=CD(已知)
在△ABC
和△CDA中
∴四边形ABCD是平行四边形
由上面的证明你得到了什么结论？
平行四边形判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
如图，将两根细木条AC、BD的中心重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？
试一试
你又能得到什么结论？你能证明吗？
已知如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。
同理可证AB=DC
△ADO
≌△CBO
AD=CB
OA=OC
证明：
OB=OD
∠AOD=∠COB
四边形ABCD是平行四边形
B
D
A
C
O
已知：四边形ABCD,
AC、BD交于点O
且OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
4
2
1
3
证明：∵
AO
=
CO
，BO
=
DO
，∠1
=
∠2
∴△AOB≌△COD
∴AB
∥
CD
同理AD
∥
BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴
∠3
=
∠4
还可以怎么证明呢
从上面的证明我们得到什么结论呢？
对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：∵OA=OC,OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
D
A
B
C
E
F
大显身手
求证：四边形BFDE是平行四边形
7
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
A
B
C
E
F
改一改，证一证
BE∥DF
拓展延伸
若例1中的条件:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF改为E、F是平行四边形ABCD对角线AC延长线上两点，并且AE＝CF。其它条件不变，四边形BFDE是平行四边形吗？请同学们画出图形并证明。
请你谈一谈
学习了本节课你有哪些收获？
判定
文字语言
图形语言
符号语言
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD,
AD∥BC
∴…是平行四边形
定理
两组对边分别相等的四边形是平等四边形
∵AB=CD,
AD=
BC
∴…是平行四边形
定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC,
OB=OD
∴…是平行四边形
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
O
1、判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理由.
B
A
D
C
110°
110°
⑴
⑶
A
B
C
D
O
5㎝
5㎝
4㎝
4㎝
4.8㎝
B
A
D
C
4.8㎝
7.6㎝
7.6㎝
⑵
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定义
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定2
70°
2、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
A
D
C
B
110°
70°
110°
⑴
⑷
⑶
A
B
C
D
120°
60°
A
B
C
D
O
5㎝
5㎝
4㎝
4㎝
B
A
D
C
4.8㎝
4.8㎝
⑵
7.6㎝
7.6㎝
3、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是(
)
AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=BC
(C)
AB∥CD,AD=BC
(D)
AB∥CD,
∠A=∠C
C
B
D
A
C
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
（两组对角分别相等）
A
B
D
C
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
D
O
A
B
C
E
F
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF
即EO=FO
又∵
BO=DO
∴
四边形BFDE是平行四边形
大显身手
求证：四边形BFDE是平行四边形
14
说一说
已知:AB=DC=EF
AD=BC
DE=CF，则图中有哪些互相平行的线段？
A
B
C
D
E
F
解：AD∥BC
DE∥CF
AB∥DC∥EF
已知:在平行四边形ABCD中,点
E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.则下图中有几个平行四边形？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：五个
分别是四边形ABFH
四边形DCFH
四边形AEGD
四边形BEGC
四边形ABCD
想一想
例:已知
ABCD的对角线AC、BD相交
点O,点E.F是AC上的两点，并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
证明：∵四边形ABCD是平
行四边形
∴AO=CO
BO=DO
∵AE=CF
∴EO=FO
又BO=DO
∴四边形BFDE是平
行四边形
做一做
挑战自我
已知：在四边形ABCD中,AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是什么？
A
B
C
D
解：AD∥BC或
AB=CD
变式练习
已知：平行四边形ABCD中，E.F分别是边AD
BC的中点，求证：EB=DF
A
C
D
E
F
B
证明：∵四边形ABCD是
平行四边形
∴AD∥BC
AD=BC
∵
DE=1/2AD
BF=1/2BC
∴DE∥BF
DE=BF
∴四边形EBFD是平
行四边形
∴EB=DF
□
ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
G
E
F
D
O
H
C
B
A
G
E
F
D
O
H
C
B
A
答：四边形EFGH是平行四边形
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD
又∵点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点
∴OE=1/2OA，OG=1/2OC,OF=1/2OB,OH=1/2OD
∴OE=OG,OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
已知：如图，四边形ABCD中，AC、BD互相平分，O为交点，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE．求证：EO=OF．
A
B
C
D
E
F
O
布置作业
课本128页A组题和B组题
谢谢
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