浙江省杭州市西湖高级中学2011-2012学年高二3月月考数学（理）试题

一．选择题：(本大题共10题，每小题3分，共30分.)
1． 已知则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a
2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　 　)
A．　　　　B．(π，2π) C． D．(2π，3π)
3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有(　　)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 ( )
A． B. C． D．
6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( 　　)
7． f(x)是(0,+∞)上的非负可导函数,且,对任意正数a,b,若a8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
9．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…+< f(n)　(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)
A．1项 B．k项 C．项 D．项
10．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)
A．一定大于0 B．一定等于0 C．一定小于0 D．正负都有可能
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请把答案填写在答题卷中）
11．设f(t)＝ ，那么＝________.
12.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．
13．设函数，若是奇函数，则_________。
14．定义在R上的函数，其中a为常数.若函数在区间（－1，0）上是增函数，则 a的取值范围是___________.15．观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
三、解答题：（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 已知函数 ．
（1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
17．求证：
18．已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
19．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．
20.已知函数，若对任意恒有，求的取值范围。
2）
据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x︿2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1③-1综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-517．证明略
18．(本题满分12分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
[解析]　推测Sn＝(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．
19．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．
[分析]　(1)由f(x)在(0,1]上为增函数，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
第3题图
20090423