陕西省澄城县寺前中学2012届高三下学期第二次双周考试数学（理）试题

命题人：赵密芳
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．
1．复数，，则复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知集合和，则集合M是集合N的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．过点P（1,2）的直线l平分圆C：的周长，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）
A． B．4
C． D．
6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A．12
B．22
C．30
D．32
7．展开式中，中间项的系数为70．若实数满足则的最小值是（ ）
A．1 B． C．5 D．1
8．已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
9．设函数的最小正周期为，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递增 D．在单调递减
10.如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
．
11.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且 =, 那么椭圆的方程是 .
12．某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为____________
13．设a，b，c为单位向量，a，b的夹角为60°，
则（a + b + c）·c的最大值为 ___________
14．每位学生可从本年级开设的类选修课门，类选修课门中选门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=______ ；
B．（不等式选讲选做题）关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_______；
C．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．
16．（本小题满分12分）
三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围．
17．（本小题满分12分）
如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．
（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为45°？
18．（本小题满分12分）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.
19.（12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.
20．（本小题满分13分）
已知圆C1的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中.
(Ⅰ) 求函数的极小值点；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线都与轴垂直，问是否存在常数，使函数在区间上存在零点？如果存在，求的值：如果不存在，请说明理由.
高三数学第二次双周考答案（理）
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．
因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分
法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系．则平面ADF的一个法向量为．
设AB = a，BC = b，CE = c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知，得，而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．
（Ⅱ）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且．
由可得FD = 4，从而得CE =1． ——————8分
设BC = a，则点B的坐标为（a，，0）．又点E、F的坐标分别为（0，，1）和（0，0，4），所以，．
设平面BEF的一个法向量为，则，解得一组解为，所以． ——————10分
易知平面DEF的一个法向量为，可得
由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得．
所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为45．————12分
19. 解：（1）设成等差数列的三个正数分别为
依题意，得
所以中的依次为
依题意，有（舍去）
故的第3项为5，公比为2. 由
所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为-------------6分
（2）数列的前项和，即
所以
因此为首项，公比为2的等比数列. -----------------12分
20．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则
，且 ————2分
可得 ．
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程． ————5分
（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为． ——————9分
把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以
． ——————13分
（Ⅱ）若曲线上有两点，处的切线都与轴垂直，则，由（Ⅰ）的讨论知，或，
，.
若函数在区间上存在零点，且单调,所以.
即.所以.
故.
下面证明此不等式不成立.
令，则，
于是当，所以，在单调递增，在单调递减，所以函数在取得最大值.
所以,所以.故不存在满足要求的常数. -------14分
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
A
B
C
D
E
F
A