10.1.3　古典概型(共23张PPT)

(共23张PPT)
知识点一　
概率、古典概型的定义
思考问题：
我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
[提示]考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．
可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
知识梳理　
1.概率的定义：对随机事件
大小的度量(数值)称为事件的概率．事件A的概率用
表示．
2.古典概型：
一般地，设试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
则试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
发生可能性
P(A)
知识点二　古典概型的概率计算公式
思考问题：
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”．
知识梳理　
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
，
其中，n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
探究二　古典概型的概率计算
例2单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A.B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型。
设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
P(M)=
思考：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
[分析]猜对的概率更小；因正确答案是唯一的，由概率公式可知，分子上的数还是1，而分母上的数即样本空间的样本点增多了，有(A)，(B)，(C)，(D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C，D)共15个，所以所求概率为
例3
抛掷两枚质地均匀的骰子
(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型，
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果。
用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间
Ω={(m,n)Ι
m,n∈{1,2,3,4,5,6}}
其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典.
例3
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”
B=“两个点数相等”；
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”。
解:(2)因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)=4，从而
P(A)===
因为B=
{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6,6)}，所以n(B)=6，从而
P(B)===
因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，
(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6.3)，(6,4),(6、5)}，所以n（C)=15，从而
P(C)===
思考:在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
分析：
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1，2)和(2，1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m，n)Ι
m，n∈{
1，2，3，4，5，6}，且m≤n}，则n(Ω1)=21.其中，事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1，4)，(2，3)}，这时P(A)=.
思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
分析：
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1，1)和(1，2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=.是错误的
归纳
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数
字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率。
例4
袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；
(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每种可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果。将两次摸球的结果配对，可列表表示如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
×
×
×
×
×
（2,1）
（3,1）
（4,1）
（5,1）
（1,2）
（3,2）
（4,2）
（5,2）
（1,3）
（2,3）
（4,3）
（5,3）
（1,4）
（2,4）
（3,4）
（5,4）
（1,5）
（2,5）
（3,5）
（4,5）
组成20种等可能的结果
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即
A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1),(2,3)，(2，4)，(2，5)},所以
P(A)==.
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1，2列)，即
B={(2，1)，(3，
1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以
P（B)==.
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1，2)，(2，1)}，所以
P(AB)==.
例10
从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2：，则可用数组(x1，x2)
表示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1={(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2,G2)}.
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2={(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3={(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}.
(2)设事件A=“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，
A={(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此
P(A)==
对于不放回简单随机抽样
A={(B1，B2)，(B2，B1)}.
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此
P(A)==
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=?，因此P(A)=0.
例10表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.因此，抽样方不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。