广东省新兴县惠能中学2011-2012学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）
1、复数的平方是一个实数的充要条件是 （ ）
（A） a=0且b≠0 （B） a≠0且b=0 （C） a=0且b=0 （D） a=0或b=0
2、△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为 （ ）
(A) 锐角 (B) 钝角 (C) 直角 (D) 不能确定
3、函数，则 （ ）
在上递增；（B）在上递减；(C)在上递增； （D）在上递减
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）
(A) 1 (B) (C) (D)
5、已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
　 （A）-16 (D) a<-1或a>2
6、的值等于 （ ）
(B) (C) (D)
7、已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）<0,则函数g(x)=x2f(x)的单调情况一定是( )
(A) 在(-∞，0)上递增 （B）在(-∞，0)上递减 （C）在R上递增 （D）在R上递减
8、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）
0
9、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
10、已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 ( )
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.
11、一物体以v(t)=t2 -3t+8(m/s)的速度运动,则其在前30秒内的平均速度为______________(m/s).
12、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=______；当时，_____________________．（用表示）
13、若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积____________________________.
14、已知，函数定义域中任意的，有如下结论：
①； ②；
③ ④
上述结论中正确结论的序号是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、（本小题满分12分）
求抛物线与直线围成的平面图形的面积.
16、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数在上的最大值和最小值.
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
17、（本小题满分14分）
18、（本小题满分14分）
已知是函数的一个极值点，其中，
（1）求与的关系式；
（2）求的单调区间；
（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
19、（本小题满分14分）
如图，在直线之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往. 家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d,0）（d>0）处的学校就读. 每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d, 0）处的学校. 已知船速为，车速为（水流速度忽略不计）.
（1）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
（2）若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间.
20、（本小题满分14分）
已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x2上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.
（1）求直线的方程.
（2）设的面积为S1，求及S1的值.
（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.
参考答案
选择题答题卡（共10个小题，每小题5分，共50分）。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.
11、263 12、5, 13、 14、①③
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
…………………………………………………………………………12分
17、（本小题满分14分）
解：（1），
， …………………………………4分
（2）猜想： 即：
（n∈N*）……5分
下面用数学归纳法证明
n=1时，已证S1=T1 ………………………………………………………………6分
假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
………………8分
则
……………………………………………………10分
……………………11分
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分
19、（本小题满分14分）
（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则.……3分
令……………………………………………………5分
且当…………………………………………………6分
当……………………………………………………7分
当时，所用的时间最短，最短时间为：
.………………………………9分
答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.
(3)当>-1时，S1=（+1）3， ………………………………………8分
…………………………………………9分
…………………………………………10分
∴S1:S2= ………………………………………………………………………11分
当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………………………………………12
……………………………………………13分
∴S1:S2=
综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是 …………………………………14分
-2
2
O
1
-1
-1
1