3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图所示．
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
1.(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
1.下列说法中，正确的是( )
A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
C [由椭圆的定义知，C正确．]
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
2.能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
[提示] 能．椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大．
2.(1)若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________．
(1)x (2,0)和(－2,0) (2)＋＝1 [(1)因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6，
所以c2＝10－6＝4，c＝2，故焦点坐标为(2,0)和(－2,0)．(2)由已知得b2＝a2－c2＝21，于是椭圆的标准方程为＋＝1.]
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 (对接教材P107例题)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
[解] (1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知，
2a＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2)))＋eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2)))＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆经过点，所以＋＝1，
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝10，b2＝6.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),b2)＝1，))解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),a2)＋0＝1，))解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤.
[提示] ?1?定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.
?2?设方程：根据上述判断设方程＝1?a＞b＞0?或＝1?a＞b＞0?或整式形式mx2＋ny2＝1?m＞0，n＞0，m≠n?.
?3?找关系：根据已知条件建立关于a，b，c?或m，n?的方程组.
?4?得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25)
B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25)
D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
(1)B (2) [(1)依题意有
解得－9
即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)，故选B．
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m<－，
即实数m的取值范围是.]
根据椭圆方程求参数的取值范围
(1)给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0.
(2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．
[跟进训练]
2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－4,0)∪(0,3) [方程化为＋＝1，
依题意应有12－a>a2>0，解得－4类型3 椭圆中的焦点三角形问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5
B．3∶4
C．5∶3
D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)C (2) [(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.
(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.]
1．本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解] 由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，
则|PF1|＝，
因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.
2．本例(2)中方程改为＋＝1(a＞b＞0)，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．
[解] 由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1.
1．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
2．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos
θ.(∠F1MF2＝θ)
(3)焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin
θ＝b2tan
.(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，则∠F1PF2________.
(1)8 (2)60° [(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
(2)由已知得a＝2，b＝，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos
α)＝6，④
得＝，
即＝2，
∴tan
＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.]
类型4 与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解.
(1)x2＋＝1 (2)＋＝1 [(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
(2)设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
所以其轨迹方程为＋＝1.]
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
[跟进训练]
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
[解] 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
因为|AB|＝2，|AC|＝，
所以|BC|＝＝，
则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
D [由|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．]
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2.]
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
C [由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，
所以b2＝a2－c2＝36，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.]
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.]
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
48 [由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
[提示] 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
(2)当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？
当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
[提示] 表示椭圆时：，
表示焦点在x轴的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴的椭圆时，n>m>0.
(3)求动点的轨迹方程常用方法有哪些？
[提示] 直接法、定义法、相关点法(代入法)．
PAGE3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点)2.能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点)
通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
[提示] (1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆．
(2)最大值a＋c，最小值a－c.
(1)经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．－＝1
D．－＝1
(2)已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________.
(1)A (2) [(1)由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝＝.]
类型1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 (对接教材P112例题)(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有( )
A．相同的焦点
B．相同的顶点
C．相同的离心率
D．相同的长、短轴
(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
(1)C [在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解] 椭圆方程可化为＋＝1.
①当0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m>4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] ?1?将椭圆方程化为标准形式.
?2?确定焦点位置.?焦点位置不确定的要分类讨论?
?3?求出a，b，c.
?4?写出椭圆的几何性质.
[跟进训练]
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
[解] (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.
类型2 由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
(1)＋＝1 (2)＋＝1或＋＝1 [(1)由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.]
类型3 求椭圆的离心率
【例3】 (1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的范围是( )
A．
B．
C．
D．
离心率e＝，因此建立a，b，c中二个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式.
(1)B (2)D [(1)法一：由题意知，|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，
又|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴(2c)2＋＝，
∴＝，即e＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
(2)由题意知
解得
由|PF1|＝a≤a＋c得e≥，又0∴≤e<1，故选D．]
1．求椭圆的离心率的常见思路
一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e＝，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：02．注意特殊线段在解题中的应用
在求离心率的过程中，常用到一些特殊线段、特殊值，如过F1(－c,0)垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝，A等，解题中要善于总结，应用．
[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
B．2－
C．
D．－1
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
(1)D (2) [(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，
则|PF2|＝c，|PF1|＝c，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1，故选D．
(2)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，
因为e＝，01．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋y2＝1
C [依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.]
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0)
B．(0，－1)，(0,1)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
D [椭圆方程可化为x2＋＝1，焦点在y轴上，长轴端点的坐标为(0，±)．]
3．已知椭圆C2过椭圆C1：＋＝1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [椭圆C1：＋＝1的焦点为(±，0)，短轴的两个端点为(0，±3)，由题意可得椭圆C2：a＝3，b＝，可得c＝＝2，即离心率e＝＝.]
4．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．
＋＝1或＋＝1 [椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4.
所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6.
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1.]
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
[由题意知0所以m＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
[提示] ①化标准，把椭圆方程化成标准形式；
②定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
③求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
④写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
(2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路．
[提示] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
③写出标准方程．
(3)试总结求椭圆离心率的方法．
[提示] ①若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
②若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))求解；
③若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．
PAGE第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养．2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.
类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？
知识点1 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
1.(1)点P(2,1)与椭圆＋＝1的位置关系是________．
(2)若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(1)点P在椭圆外部 (2)(－，) [(1)由＋>1知，点P(2,1)在椭圆的外部．
(2)∵点A在椭圆内部，
∴＋＜1，∴a2＜2，
∴－＜a＜.]
类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？
知识点2 直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
(2)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝
＝·，
或|AB|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y1－\f(1,k)y2))＋?y1－y2?2)
＝
＝·，
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．
( )
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．
( )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
( )
[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)× 因为P(b,0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(3)√ 直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
类型1 直线与椭圆的位置关系
【例1】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
直线与椭圆位置关系的判断方法
[跟进训练]
1．在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
[解] 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>，所以k的取值范围为∪.
类型2 弦长和中点弦问题
【例2】 过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横?纵坐标?之和可求，由此思考解决问题的方法.
[解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))·＝2.
1．本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由＋＝1和＋＝1，
得＝－，∴k＝＝.
又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝.
所以椭圆的离心率为e＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))＝＝.
2．把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
[解] 设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则
∴＝－，
从而kl＝＝.
又kl＝kPM＝，∴＝.
整理得x2＋4y2－2x－4y＝0.
故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0.(椭圆内的部分)
试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．
[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标；
②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
[跟进训练]
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解] 因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法一：解方程组
得交点A(0，－2)，B，
所以|AB|＝
＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3))))
＝＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
所以|AB|＝＝
＝＝eq
\r(?1＋22?\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))－4×0)))＝.
类型3 直线与椭圆的最短距离问题
【例3】 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解] 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，
它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为
d＝＝＝.
由得
即P.
本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.
[跟进训练]
3．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
[解] 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝.
由得
即P.
类型4 与椭圆有关的综合问题
【例4】 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
[解] (1)由题意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立?3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，
即－x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，
|AB|＝·
＝·＝，
以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝|AB|＝，
即＝，解得m＝±∈(－，)，则m的值为±.
解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
[跟进训练]
4．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝.
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2.
等价于k1＋k2＝0.
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0.
即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝＋＝0，
(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
化简得，＝0，
所以m＝1.
当k＝0时，也成立．
所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切
A [把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．]
3．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A．6
B．15
C．20
D．12
D [由可知a＝5，b＝3，c＝＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.]
4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
[由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.]
5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是________．
[最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
[提示] 三种位置关系：相交、相切、相离．
解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．
(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．
[提示] |AB|＝·
＝·.
(3)如何处理椭圆的中点弦问题？
[提示] ①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．
②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．
PAGE3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1.通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养.
做下面一个实验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
知识点1 双曲线的定义
文字语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点F1，F2
焦距
两焦点间的距离
1.(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)双曲线的右支．
1.(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(－6,0)的距离之差等于12的点的集合是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(1)B (2)D [(1)根据双曲线的定义知甲?/
乙，乙?甲，因此甲是乙的必要条件，故选B．
(2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．]
知识点2 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
2.如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？
[提示] 双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．
2.(1)若双曲线方程为－＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
(1)x (6,0)和(－6,0) (2)－＝1 [(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6,0)和(－6,0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线方程为－＝1.]
类型1 双曲线定义的应用
【例1】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] (1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知
||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6.
解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1因此，点M到另一个焦点的距离为13.
(2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
∠F1PF2
＝×64×＝16.
求双曲线中焦点△PF1F2面积的两种方法
(1)方法一：(先求|PF1|·|PF2|的值)
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C的方程是－＝1，其上下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9则|MF2|等于( )
A．17 B．1 C．17或1 D．16或1
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4
B．8
C．24
D．48
(1)A (2)C [(1)由双曲线方程知a2＝16，b2＝20，则c2＝36，
∴a＝4，b＝2，c＝6.
根据双曲线的定义得||MF2|－9|＝8，即|MF2|－9＝±8，
解得|MF
2|＝17或|MF2|＝1，
又|MF2|＝1(2)
解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，
|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.]
类型2 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的焦点在x轴，
因此设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．
[提示] (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
2．(1)已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1(x≤3)
D．－＝1(x≥3)
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
(1)D (2)－＝1 [(1)由题意知|PA|－|PB|＝6，则点P的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝6，c＝5，所以b2＝c2－a2＝52－32＝42＝16，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥3)，故选D．
(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.]
类型3 方程表示双曲线的条件
【例3】 给出曲线方程＋＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解] (1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有
解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
3．(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________.
(1)(－1,1) (2)1 [(1)由题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，
解得－1(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)．
由椭圆方程，知c2＝4－a2，
所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．
因此a的值为1.]
类型4 与双曲线有关的轨迹问题
【例4】 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
在△ABC中，由2sin
A＋sin
C＝2sin
B能得到什么结论，由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程.
[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟进训练]
4.如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
D [因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，为一条射线．]
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A． B． C． D．(，0)
C [将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，于是c＝＝，故右焦点坐标为.]
3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
B [当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．
所以k>9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．]
4．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5,0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.(用数值表示)
17或1 [由题意知，双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5,0)，∴c＝5，
又由a
2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1.]
5．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．
－＝1 [由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)．
设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．
[提示] 定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)
(2)方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？
[提示] ①若表示双曲线，则满足mn>0.
②若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足
③若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足
(3)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？
[提示] |PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c.
(4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？
[提示] 根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，
若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，
若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．
PAGE3.2.2 双曲线的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
1.通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养.
已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1 双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长：2a 虚轴长：2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
(2)双曲线的中心和等轴双曲线
①双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
②等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.
1.双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
[提示] 以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．
( )
(2)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．
( )
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．
( )
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．
( )
[提示] (1)√ 双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．
(2)× 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
(3)× 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(4)√ 等轴双曲线的离心率是.
2.双曲线－＝1的顶点坐标是( )
A．(±5,0)
B．(±5,0)或(0，±3)
C．(±4,0)
D．(±4,0)或(0，±3)
A [双曲线顶点在x轴上，且a＝5，故选A．]
知识点2 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值
位置关系
交点个数
k＝±时(此时m≠0)
相交
只有一个交点
k≠±且Δ＞0
有两个交点
k≠±且Δ＝0
相切
只有一个交点
k≠±且Δ＜0
相离
没有公共点
2.直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．
3.过点(0，b)的直线和双曲线－＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？
[提示] 4条，其中两条切线，两条与渐近线平行的直线．
类型1 根据双曲线方程研究其几何性质
【例1】 (对接教材P124例题)(1)双曲线－＝1的左顶点到其渐近线的距离为( )
A．2 B． C． D．3
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
(3)已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝________.
(1)C (2)C (3)1 [(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，c＝5，
从而双曲线左顶点A1(－3,0)，一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0，
则左顶点到渐近线的距离d＝＝，故选C．
(2)由e2＝1＋得＝1＋，
∴＝，即＝，
又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±x，故选C．
(3)由双曲线方程知，双曲线的焦点在x轴，则＝2，
即a2＝1，∴a＝±1，又a>0，∴a＝1.]
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c,0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝.
(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
[跟进训练]
1．(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A．
B．2
C．
D．
(2)若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－
B．－4
C．4
D．
(1)D (2)A [(1)由题意得e2＝1＋，即1＋＝4，
解得a＝，则实轴长为，故选D．
(2)将双曲线方程化为标准形式为y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－.由题意知，2＝，∴m＝－.]
类型2 由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解] (1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.
由题意得解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.
①
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.
②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.
③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.
④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[跟进训练]
2．求适合下列条件的双曲线的方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
[解] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)．
综上所得，双曲线的方程为－＝1.
法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将点(－3,2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
类型3 求双曲线的离心率
【例3】 (1)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．
B．
C．2
D．
(2)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
(1)A (2)2 [(1)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，
则|OP|＝a，
|OM|＝|MP|＝.
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，
故＝，即e＝，故选A．
(2)如图，A(a,0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
则b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.]
结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
[提示] (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为________．
(1)或 (2)2 [(1)当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝.
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝.
(2)因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2.]
类型4 直线与双曲线的位置关系
【例4】 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，你认为如何判断直线和双曲线的位置关系.
[解] (1)联立方程
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则解得－＜k＜，且k≠±1.
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,1－k2)))＋\f(8,1－k2))
＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．
[跟进训练]
4．已知双曲线－y2＝1，求过点A
(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，
即＝3，
解得k＝－.
当k＝－时，
满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，
即3x＋4y－5＝0.
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝y－y，
∴＝.
∵点A平分弦MN，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
1．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为
ABD [双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.]
2．若双曲线－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是( )
A． B．
C．15 D．17
C [由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1，
因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15，故选C．]
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
A [令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A．]
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
[由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝.]
5．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
±1 [由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y
1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．
又点(m,2m)在x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示] (1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
(2)离心率e和有怎样的关系？
[提示] e2＝1＋.
(3)如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示] 可设为－＝λ(λ≠0)．
(4)直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？
[提示] 完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝或|AB|＝.
PAGE3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程．(重点)2．明确抛物线方程中参数p的几何意义．(易混点)3．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(难点)
通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线．
思考：图中是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
1.抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
[提示] 当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
1.(1)若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．抛物线
C．直线
D．双曲线
(2)平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．圆
(1)B (2)A [(1)由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B．
(2)由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A．]
知识点2 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
2.抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
[提示] p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离．
( )
(2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．
( )
(3)抛物线y2＝x的准线方程为x＝.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
类型1 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
1．试总结用待定系数法求抛物线标准方程的步骤．
[提示]
2．求抛物线标准方程时应注意什么问题？
[提示] (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3)注意p与的几何意义．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(2)经过点(－3，－1)；
[解] (1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
(2)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
类型2 抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A [由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))＋?2－0?2)＝.
若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解] 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.
即|PA|＋|PF|的最小值是.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x
B．y2＝－32x
C．y2＝16x
D．y2＝32
(3)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
(1)C (2)C (3) [(1)由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
(2)由题意知点P到点F(4,0)和直线x＝－4的距离相等．
所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C．
(3)抛物线的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－.设M(x0，y0)，则有y0＋＝1，解得y0＝.]
类型3 抛物线的实际应用
【例3】 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
实际问题与抛物线有关，联系抛物线标准方程的坐标原点及坐标轴的位置，请思考如何建立平面直角坐标系？
[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.
当船的两侧和拱桥接触时船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
求解抛物线实际应用题的步骤
[跟进训练]
3.一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解] 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为.
由点B在抛物线上，得
＝－2p·，
∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－ay.
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴y0＝－，
∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13.
1．准线为y＝－的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝3y
B．y＝－x2
C．x＝3y2
D．x＝－y2
A [准线是y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A．]
2．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
D [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，可得xM＝9，则点M到y轴的距离是9.故选D．]
3．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．x2＝8y
D．x2＝－8y
C [依题意得点P(x，y)到点F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，并且点F(0,2)不在直线y＋2＝0上，所以点P的轨迹是抛物线，并且F是焦点，y＋2＝0是准线，于是抛物线方程为x2＝8y.]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
2 [建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]
5．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
(－9,6)或(－9，－6) [由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.
设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
[提示] 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0)．
(2)当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
[提示] 可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
(3)求解与抛物线有关的实际问题的基本步骤是什么？
[提示] ①建：建立适当的坐标系．
②设：设出合适的抛物线标准方程．
③算：通过计算求出抛物线标准方程．
④求：求出所要求出的量．
⑤还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
PAGE3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点)
1.通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.
已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1 抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．
( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．
( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
知识点2 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
②k≠0时，Δ＞0?直线与抛物线相交?有两个公共点．
Δ＝0?直线与抛物线相切?只有一个公共点．
Δ＜0?直线与抛物线相离?没有公共点．
直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
2.若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
0或 [由消去x得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.
综上，k＝0或.]
知识点3 直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
C [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C．]
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
(1)y2＝3x或y2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
(2)[解] 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：
|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，
∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
[跟进训练]
1．(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝±x
D．y2＝±x
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y
B．x2＝y
C．x2＝8y
D．x2＝16y
(1)C (2)D [(1)设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C．
(2)由题意知，双曲线C1的离心率为e＝＝＝2?b＝a.
因此双曲线C1的渐近线方程y＝±x＝±x，
取其中一条渐近线x－y＝0.
抛物线C2的焦点坐标为，该点到双曲线的渐近线的距离d＝＝＝2.解得p＝8，因此抛物线C2的方程为x2＝16y，故选D．]
类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
[解] 联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (
)
当k＝0时，(
)式只有一个解x＝，
∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝0符合题意．
(2)当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1.
由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝只有一解，
直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线方程为y＝1.
当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝，此时直线与抛物线只有一个公共点，直线方程为y＝x＋1.
综上知，过定点P(0,1)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有三条．
类型3 抛物线的焦点弦问题
【例3】 (对接教材P135例题)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标?或纵坐标?之和有关，由此思考解决问题的方法.
[解] 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由，消去y，
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋
＝p，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为
y＝2或y＝－2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
[跟进训练]
3．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1 C．±1 D．－2
A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25?k＝±2.]
1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．
B．
C．
D．
A [假设点A的坐标为(x0，y0)，y0>0则y0＝，由2x0＝()2得x0＝1.
从而直线AB的方程为x＝1，
又抛物线y2＝2x的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝，故选A．]
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．－1
C．－
D．－
C [因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
B [由题意知F(1,0)，设A，则＝，
＝.
由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝.
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.]
5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.综上，k＝0或1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
[提示] 方法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R.
方法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．
(2)直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个交点，但直线与抛物线相交，不相切．
(3)直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
[提示] |AB|＝p－(y1＋y2)．
PAGE第2课时 抛物线的方程及性质的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1.会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点)2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点)
通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养.
一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？
知识点 与抛物线有关的焦点弦的相关结论
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；
③＋＝；
④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；
⑤以AB为直径的圆必与准线l相切．
你能证明＋＝这个结论吗？
[提示] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝.
由得y2＝p2.∴y＝±p.
从而|AF|＝|BF|＝p；
所以＋＝.
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，
由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，
∴＋＝＋＝＝
＝＝＝，
即＋＝.
直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.
[由＋＝得＋＝1，
解得|BF|＝.]
类型1 和抛物线有关的轨迹问题
【例1】 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
[解] (1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴eq
\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))))＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1.
∴点p的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
和抛物线有关的轨迹方程的求解方法
(1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解．
(2)定义法：转化条件，把所求问题转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解．
[跟进训练]
1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解] 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
类型2 与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A． B． C． D．25
(2)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？
(1)A [由题意知，抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，
所以直线l的方程为y＝(x－2)．
由
得B点的坐标为.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为，故选A．]
(2)[解] 法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即＝4，∴kAB＝4.
∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
法二：(传统法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
“中点弦”问题的解决方法
[跟进训练]
2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．
y2＝4x x－y＝0 [由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有且x1≠x2，
两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2,2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.]
类型3 与抛物线有关的综合问题
【例3】 已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．
[解] (1)∵动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2.
∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，
∴l2的方程为y＝－k(x－1)＋2.
联立得方程组
消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.
设A(x1，y1)，则x1＝＝.
同理，设B(x2，y2)，可得x2＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝.
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝.
∴kAB＝＝－1.
∴直线AB的斜率为定值－1.
定值与定点问题的求解策略
(1)欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法：①通过方程判断；②对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；③利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
[跟进训练]
3．已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若弦AB的中点为(3,3)，求直线l的方程；
(2)若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．
[解] (1)因为抛物线的方程为y2＝4x，则有y＝4x1，y＝4x2，因为弦AB的中点为(3,3)，所以x1≠x2.
两式相减得y－y＝4x1－4x2，
所以＝＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－3)，即y＝x＋1.
(2)证明：当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，整理，得ky2－4y＋4b＝0，y1y2＝＝－12，b＝－3k，
l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3,0)．
当l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，l过定点(3,0)．综上，l过定点(3,0)．
1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．抛物线
D [依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．]
2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．y2＝12x
B．y2＝－12x
C．x2＝12y
D．x2＝12y
A [设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.]
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0.S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.]
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
(4,2) [由得x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．]
5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是.
y2＝4x [由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？
[提示] 直接法、定义法．
(2)解决和抛物线有关的中点弦问题有哪些方法？
[提示]
(3)如何解决定点定值问题？
[提示] ①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：a.通过方程判断；b.对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；c.利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；d.转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
PAGE第3章
圆锥曲线的方程
类型1 圆锥曲线的定义及应用
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．研究与圆锥曲线有关的两点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决问题．
【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.
(1)C (2)60° [(1)把轨迹方程5
＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，
化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝＝
＝＝＝.
所以∠F1PF2＝60°.]
[跟进训练]
1．若A(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，
当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为3＋＝.]
类型2 圆锥曲线的方程
求圆锥曲线方程的常用方法：
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D．当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
(1)C [法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C．
法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.]
(2)[解] 法一：由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，
(
)
把x0＝x，y0＝2y代入(
)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
[跟进训练]
2．(1)以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是( )
A．y2－＝1
B．x2－＝1
C．－y2＝1
D．－x2＝1
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．
(1)D [设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，
因为焦点在y轴上，所以方程可化为－＝1，
由条件可知－λ－＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x2－y2＝－3，即－x2＝1.]
(2)[解] 由已知得＝2，所以＝4，解得＝，
即双曲线的渐近线方程为y＝±x.
由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，
可设A，B，
从而△AOB的面积为·p·＝，
解得p＝2或p＝－2(舍)．
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
类型3 圆锥曲线的性质及应用
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
【例3】 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
(1)D (2)x±y＝0 [(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即＝，
所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.]
[跟进训练]
3．(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
(1)A (2)x±y＝0 [(1)ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.
(2)c2＝a2＋b2，
①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，
即－＝1.
②
由|FA|＝c，得c2＝a2＋，
③
由①③得p2＝4b2.
④
将④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.]
类型4 圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
[解] (1)由抛物线C：y2＝2px经过点P(2,2)知4p＝4，解得p＝1.
则抛物线C的方程为y2＝2x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty＋a，
由
消去x，得y2－2ty－2a＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
即＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.
所以直线AB：x＝ty＋2.
所以直线AB过定点(2,0)．
S△AOB＝×2×|y1－y2|
＝
＝≥＝4.
当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立．
所以△AOB面积的最小值为4.
[跟进训练]
4．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
[解] (1)右顶点是A(2,0)，离心率为，所以a＝2，＝，∴c＝1，则b＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：x＝m，
与椭圆方程＋＝1联立得：|y|＝，|MN|＝2，
设直线MN与x轴交于点B，|MB|＝|AB|，
即＝2－m，
∴m＝或m＝2(舍)，∴直线lMN过定点；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得
(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，
·＝0，则(x1－2，y1)(x2－2，y2)＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴7b2＋4k2＋16kb＝0，
∴b＝－k或b＝－2k，
∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，
由直线y＝k(x－2)不合题意，
∴直线过定点，综上知直线过定点.
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
C [法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))＋y\o\al(2,A))＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C．
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
B [由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B．]
3．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.
解得＝－2(舍去)，＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，
故＋＝1.
①
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.
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