2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2.理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
1.
通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养.2.
通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线．
如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？
知识点1 倾斜角的相关概念
(1)倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx为锐角，直线l′的倾斜角是∠BPx为钝角．
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
1.任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
[提示] 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°.
( )
(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在．
( )
(3)不存在倾斜角相同的直线．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角．
如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论：
(1)经过A(－1，－1)，B(3，－1)的直线l1；
(2)经过C(2,1)，D(2,2)的直线l2；
(3)经过E(－1,0)，F(1,2)的直线l3.
知识点2 直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2.当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
[提示] 当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．
( )
(2)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应．
( )
(3)与y轴垂直的直线的斜率为0.
( )
(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
知识点3 直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝.
3.若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为________．
(1，－1) [直线l的斜率k＝tan
135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．]
类型1 直线的倾斜角
【例1】 (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α－45°
(1)D (2)AB [(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
(2)根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.]
求直线倾斜角的方法及注意点
(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
[跟进训练]
1．(多选题)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为( )
A．α＋60°
B．α＋120°
C．α－60°
D．120°－α
BC [直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α.]
2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
135° [设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.]
类型2 直线的斜率和方向向量
【例2】 (1)(对接教材P54例题)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1
B．5
C．－1
D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________．
(1)D (2)2 [(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴＝tan
135°＝－1，解得y＝－5，故选D．
(2)由直线l的方向向量为(2,4)得，直线l的斜率为＝2，因此＝2，解得m＝.]
直线斜率的计算方法
(1)①判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
②若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．
(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
[跟进训练]
3．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．
(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(2)当m为何值时，直线l的斜率是1?
[解] (1)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.
(2)由题意知m＋1≠2m，即m≠1，直线l的斜率k＝＝1，解得m＝.
4．经过M(0,3)，N(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值．
[解] 直线MN的斜率kMN＝＝3，
∵直线MN的方向向量为(1，k)，
∴k＝3.
类型3 直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
2．直线的倾斜角和斜率的关系
直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
[跟进训练]
5．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
[解] (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC [由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC．]
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1)
B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1)
D．(－2,2)与(－2,5)
D [D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．]
3．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．60°
A [kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.]
4．已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为________．
[因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为.]
5．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
0°<α≤90° [当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan
α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？
[提示] 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
(2)直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)的斜率公式是什么？
[提示] 把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率．
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的斜率公式是k＝.
(3)当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？
[提示] 当0°≤α<90°时，斜率为非负值，且逐渐增大，当α＝90°时，斜率不存在，当90°<α<180°时，斜率为负值，且逐渐增大．
(4)直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？
[提示] 若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量．
反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0)．
PAGE2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)2.能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题．(重点、难点)
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？
知识点1 两条直线平行与斜率之间的关系
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
1.(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？
[提示] (1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线．
1.已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(α，6)，且l1∥l2，则α＝________.
2 [由题意知l1⊥x轴，又l1∥l2，所以l2⊥x轴，故α＝2.]
直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)，若l1⊥l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？
知识点2 两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应关系
l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2
2.“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
[提示] 不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
2.l1的斜率为－，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
－ [由条件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－.]
类型1 两直线平行的判定及应用
【例1】 (1)(对接教材P56例题)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
①l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；
②l1的斜率为－，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
④l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)．
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
[解] (1)①kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．
②l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．
③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2.
④由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．
需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1.
所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．
(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB＝，kCD＝＝.
由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝.解得m＝－2.
经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2.
试总结判断两条平行的步骤．
[提示]
[跟进训练]
1．已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．0或2
C [法一：∵A(m,3)，B(2m，m＋4)，
∴其方向向量为＝(m，m＋1)．
∵C(m＋1,2)，D(1,0)，
∴其方向向量为＝(－m，－2)，
由直线AB与直线CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝0或m＝1.
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，故选C．
法二：当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时AB∥CD，满足题意．
当m≠0时，kAB＝＝，kCD＝＝，
由题意得kAB＝kCD，即＝，解得m＝1或m＝0(舍去)．
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，
∴m的值为0或1.故选C．]
类型2 两直线垂直的判定及应用
【例2】 (1)判断下列各题中l1与l2是否垂直．
①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；
②l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
③l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10,40)，N(10，40)．
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．
[解] (1)①k1＝＝2，k2＝＝，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
③由A，B的横坐标相等得
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．
k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，所以l2的斜率存在，设为k2.
当k2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1⊥l2；当k2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k2＝－1，得·＝－1，解得a＝2.综上可知，a的值为5或2.
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解] ∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3.
(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1.
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
类型3 两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】 (1)已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________．
(2)已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？
(1)(10，－6) [设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线BC的斜率kBC＝－，直线AD的斜率kAD＝，
由AB⊥CD，且AD∥BC，
得
解得所以点D的坐标为(10，－6)．]
(2)[解] ①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
图(1) 图(2)
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC?kAD＝kBC，即＝－3；由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1.解得
故A.
综上所述，A点坐标为(1，－1)或.
关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
3．在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．
[解] 设D(x，y)，因为DC∥AB，所以＝，又因为DA⊥AB，所以·＝－1.
由以上方程组解得：x＝－11，y＝2.所以D(－11,2)．
1．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
B [由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－.
经检验知，m＝－符合题意．]
2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．
B．a
C．－
D．－或不存在
D [由l1⊥l2，当a≠0时，kl2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D．]
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
A [依题意得，－×k1＝－1，即k1＝＝，解得a＝－，故选A．]
4．(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是( )
A．若l1∥l2，则k1＝k2
B．若k1＝k2，则l1∥l2
C．若l1∥l2，则α1＝α2
D．若α1＝α2，则l1∥l2
ABCD [由题意知，两直线l1，l2的斜率存在，根据两直线平行，其斜率和倾斜角的关系知，A，B，C，D均正确．]
5．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
－1 [若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意．故PQ斜率存在．由kPQ＝＝1，
得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)两条直线平行和斜率有怎样的关系？
[提示] 两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．
(2)两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
[提示] 两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
(3)经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？
[提示] A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同．
PAGE2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
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习
任
务
核
心
素
养
1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点)2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点)3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点)
通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养.
设l1，l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1，l2是否唯一．如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x，y)应该满足什么条件．
(1)已知l1的斜率不存在；
(2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(－2,1)；
(3)已知l2的斜率为；
(4)已知l2的斜率为且l2过点B(1,2)．
知识点1 直线的点斜式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
点斜式
点P(x0，y0)和斜率k
y－y0＝k(x－x0)
斜率存在的直线
1.(1)过点P(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线的方程是什么？
(2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？
[提示] (1)过点P(x0，y0)，平行于x轴的直线的方程为y＝y0；
过点P(x0，y0)平行于y轴的直线的方程为x＝x0.
(2)不表示同一条直线，k＝表示去掉P(x0，y0)的一条直线，而y－y0＝k(x－x0)表示整条直线．
1.(1)思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
①x轴所在直线的方程为x＝0.
( )
②y轴所在直线的方程为y＝0.
( )
③过点P(1,2)的所有直线都可表示为y－2＝k(x－1)．
( )
[答案] ①× ②× ③×
(2)已知直线l的方程是y＋2＝－x－1，则直线l的斜率k＝______.
[答案] －1
知识点2 直线的斜截式方程
(1)直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
符号：可正，可负，也可为零．
(2)直线的斜截式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
y＝kx＋b
斜率存在的直线
2.(1)截距是距离吗？
(2)一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？
[提示] (1)不是．截距是直线与y轴交点的纵坐标，其值可正、可负也可以为零，而距离不能为负值．
(2)一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0.
2.已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________.
－2 [由直线的斜截式方程可知b＝－2.]
知识点3 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥l2?k1k2＝－1.
3.已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________.
－ [由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－.]
类型1 直线的点斜式方程
【例1】 (1)直线y＝kx－3k＋2(k∈R)必过定点( )
A．(3,2)
B．(－3,2)
C．(－3，－2)
D．(3，－2)
(对接教材P60例1)(2)已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
①AB边所在直线的方程；
②AC边与BC边所在直线的方程．
(1)A [对方程y＝kx－3k＋2(k∈R)整理得：y－2＝k(x－3)，表示过点(3,2)斜率为k的直线的点斜式方程，所以直线恒过定点(3,2)，故选A．]
(2)[解] ①如图所示，
因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.
②因为∠A＝60°，所以kAC＝tan
60°＝，
所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)．
因为∠B＝45°，
所以kBC＝tan
135°＝－1，
所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
试总结求直线的点斜式方程的步骤．
[提示]
[跟进训练]
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与y轴平行；
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
[解] (1)因为直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)直线与y轴平行，斜率不存在，其直线方程为x＝3.
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又因为直线过点P(－2,3)，
所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
类型2 直线的斜截式方程
【例2】 (1)倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线的斜截式方程为________．
(2)已知直线l的斜率与直线y＝x－3的斜率相等，且直线l与x轴交点的横坐标比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程．
(1)y＝x－5 [∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
设倾斜角为α，由tan
α＝－，知α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan
30°＝.
又所求直线在y轴上的截距是－5，故所求直线方程为y＝x－5.]
(2)[解] 由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b(b≠0)．令y＝0得x＝－b，所以直线l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，由题意知－b－b＝1，解得b＝－，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－.
直线的斜截式方程的求法与应用
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．
(2)已知直线的斜截式方程，可直接求得直线的斜率与y轴上的截距，与截距有关的问题，可先设出直线的斜截式方程y＝kx＋b，再求解．
[跟进训练]
2．(1)若k<0，且b<0，则直线y＝kx＋b必不过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
(1)A [由k<0，b<0可知直线过第二、三、四象限．故选A．]
(2)[解] 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
类型3 利用斜截式方程求平行与垂直的条件
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
观察直线l1，l2的方程是否是斜截式方程，由此思考两直线平行或垂直满足的条件.
[解] (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，
∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合?k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1.
[跟进训练]
3．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
y＝－2x＋6 [因为直线l与直线y＝x＋4垂直，所以直线l的斜率k＝－2.又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.]
1．(多选题)下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )
A．x＝3
B．y＝－5
C．2y＝x
D．y＝4x－1
BD [根据直线的斜截式方程的特点知，y＝－5，y＝4x－1是直线的斜截式方程，故选BD．]
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
C [直线过定点(2,0)，又直线斜率存在，则直线不垂直于x轴，故选C．]
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
B [∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
]
4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．
x＝3 [因为直线y＝x＋1的倾斜角是45°，
所以直线l的倾斜角为90°，
又直线l过点P(3,3)，所以直线的方程是x＝3.]
5．已知两点A(－2,0)，B(0,4)，则线段AB的垂直平分线的方程为________．
y－2＝－(x＋1) [线段AB的中点坐标为(－1,2)，直线AB的斜率为＝2，
所以，线段AB的垂直平分线的斜率为－，其方程为y－2＝－(x＋1)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出直线的点斜式方程．
[提示] y－y0＝k(x－x0)．
(2)试写出直线的斜截式方程．
[提示] y＝kx＋b.
(3)如何根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直？
[提示] 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2；
l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥l2?k1·k2＝－1.
PAGE2.2.2 直线的两点式方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点)2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点)3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点)
1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养.2.借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养.
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1
km和4
km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？
知识点1 直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
＝
斜率存在且不为0
1.不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？
[提示] 平行于坐标轴或与坐标轴重合．
1.已知直线l过点A(3,1)，B(2,0)，则直线l的方程为________．
x－y－2＝0 [过A(3,1)，B(2,0)两点的直线方程为
＝，整理得x－y－2＝0.]
知识点2 直线的截距式方程
(1)直线在x轴上的截距
把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．
(2)直线的截距式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
截距式
在x，y轴上的截距分别为a，b
＋＝1
a≠0，b≠0
2.一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？
[提示] 当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示．
2.直线－＝1在y轴上的截距是________．
－b2 [直线的斜截式方程为＋＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2.]
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (对接教材P63例题)(1)过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( )
A．－ B．－ C． D．2
(2)△ABC的三个顶点分别为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程．
(1)A [由直线的两点式方程得过点(－1,1)和(3,9)的直线方程为＝，即2x－y＋3＝0.令y＝0，得x＝－，故选A．]
(2)[解] 直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．直线AC过A(－5,0)，C(0,2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点，斜率k＝＝－，由点斜式得y－2＝－(x－0)，整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程．
因为A(－5,0)，B(3，－3)，所以AB的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程．由直线的两点式方程得＝，即＝，所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0.
利用两点式求直线方程的步骤
(1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等．
(2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解．
提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系．
[跟进训练]
1．已知三角形的顶点是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．
[解] 直线AB过A(1,3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝，
整理，得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程．
直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.
类型2 直线的截距式方程
【例2】 (1)一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝－2x＋1
C．y＝x－
D．y＝－x－
(2)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
(1)B [由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，由截距式可得反射光线所在的直线方程为＋＝1，整理得y＝－2x＋1，故选B．]
(2)[解] ①当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距相等且为0，此时直线l的斜率k＝－，直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0且相等时，设直线l的方程为＋＝1，
由点(4，－3)在直线l上得＋＝1，解得a＝1.
此时直线l的方程为x＋y－1＝0.
综上知，所求直线l的方程为3x＋4y＝0或x＋y－1＝0.
利用截距式求直线方程的注意事项
(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0.
①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；
②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；
③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．
(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；
截距相反且不为零，可设x－y＝a；
截距相等且均为零，可设y＝kx.
[跟进训练]
2．求经过点P(－2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a.
[解] (1)设直线方程为＋＝1，
因为直线过点P(－2,3)，所以＋＝1，整理得a2－a－12＝0，解得a＝－3或4.
于是所求直线方程为＋＝1或＋＝1.
即3x－y＋9＝0或x＋2y－4＝0.
(2)①当a≠0时，设直线方程为＋＝1，
将P(－2,3)代入，得＋＝1，解得a＝－，
此时直线方程为＋＝1；
即2x＋y＋1＝0.
②当a＝0时，直线过点(0,0)和(－2,3)，
所以直线的斜率为－，此时直线的方程为y＝－x.
即3x＋2y＝0.
综上可知，所求直线方程为2x＋y＋1＝0或3x＋2y＝0.
类型3 直线方程的灵活应用
【例3】 (1)两条直线－＝1与－＝1的图形可能是( )
A B C D
(2)已知直线l过点P(－2,1)．
①当直线l与点B(－5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程．
②当直线l与x轴，y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程．
直线的截距式方程有明显的几何意义，由此思考如何解决与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题.
(1)B [两直线方程可分别化为＋＝1和＋＝1，
由此可知两直线在x轴，y轴上的截距互为相反数，结合图形知选B．]
(2)[解] ①(ⅰ)当直线l∥BC时，kl＝kBC＝＝－.所以直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋4y－2＝0.
(ⅱ)当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M(－1,3)，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
综上可知，直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0.
②设直线l的方程为＋＝1.
则解得或所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0.
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距．
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．
(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．
[跟进训练]
3．已知A(－2,0)，P(1,3)，B(5,0)．
(1)求过点B且与直线AP垂直的直线方程．
(2)经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，求直线l的方程．
[解] (1)∵A(－2,0)，P(1,3)∴kAP＝＝1，
∴过点B(5,0)且与直线AP垂直的直线方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.
(2)设直线l与x轴相交于点M(x,0)，
∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，∴＝或.
∴＝或＝，
解得x＝1或x＝2.∴M(1,0)或M(2,0)，
∴直线l的方程为x＝1或3x＋y－6＝0.
1．过两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
C [由直线的两点式方程知，选C．]
2．已知直角坐标系xOy平面上的直线＋＝1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
A [直线经过第一、二、四象限，则a>0，b>0，故选A．]
3．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )
A．＋＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．＋＝－1
B [直线的截距式方程为＋＝1，即－＝1，故选B．]
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
D [由题意知a≠0，令x＝0，得y＝a＋2，
令y＝0，得x＝1＋，由已知得a＋2＝1＋，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2，故选D．]
5．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．
2x－y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0.
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出直线的两点式方程．
[提示] ＝.
(2)试写出直线的截距式方程．
[提示] ＋＝1.
(3)如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题．
[提示] 可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示．
PAGE2.2.3 直线的一般式方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
所有直线的方程都能表示成点斜式吗？都能表示成斜截式吗？都能表示成两点式吗？如果能，说明理由；如果不能，举出反例，并思考直线的方程都能写成什么样的形式．
知识点1 直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
[提示] 当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．
( )
(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．
( )
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
知识点2 直线的一般式方程与其他形式的互化
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式．
( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．
( )
(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．
( )
(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
类型1 求直线的一般式方程
【例1】 (对接教材P65例题)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)斜率是－，经过点A(8，－2)的直线的点斜式方程是y＋2＝－(x－8)，
化为一般式得x＋2y－4＝0.
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴的直线方程是y＝2，
化为一般式得y－2＝0.
(3)在x轴和y轴上的截距分别为，－3的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得2x－y－3＝0.
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得x＋y－1＝0.
如何根据条件求直线的一般式方程？
[提示]
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于y轴．
[解] (1)斜率是，且经过点A(5,3)的直线的点斜式方程是y－3＝(x－5)，
化为一般式得x－y＋3－5＝0.
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4,2)，平行于y轴的直线方程为x＝4，
化为一般式得x－4＝0.
类型2 直线的一般式方程化为其他形式的方程
【例2】 已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
[解] 由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2.
截距式方程为：＋＝1.
由此可知，直线的斜率为，在x轴，y轴上的截距分别为－3,2.
直线的一般式方程化为其他形式的方程的方法
(1)化为斜截式：通过移项、方程两边同时除以一个数等恒等变形，化为y＝kx＋b的形式．
(2)化为截距式：通过移项、方程两边同时除以一个数等恒等变形，化为＋＝1的形式．
[跟进训练]
2．(1)若直线x＋2y＋1＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则( )
A．k＝－2，b＝－
B．k＝－，b＝－1
C．k＝－，b＝－
D．k＝－2，b＝－1
(2)直线2x－y＋1＝0的截距式方程为________．
(1)C (2)＋＝1 [(1)直线的斜截式方程为y＝－x－，则k＝－，b＝－，故选C．
(2)由2x－y＋1＝0得2x－y＝－1.
所以＋＝1.]
类型3 直线的一般式方程的应用
【例3】 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解] (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠，且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
[解] ∵直线l与y轴平行，
∴
∴m＝.
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0.令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
[跟进训练]
3．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，求m的取值范围．
[解] 由，解得m＝2，因为方程
(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，
所以(m2－3m＋2)与(m－2)不同时为0，
所以m≠2.
即m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞)．
1．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
C [由＋＝1得4x＋3y－12＝0，故选C．]
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C．]
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0
B．B≠0
C．A·B≠0
D．A2＋B2≠0
D [方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.]
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)
D．(2,1)
C [kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．]
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
3 [由已知得
∴m＝3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出直线的一般式方程．
[提示] Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(2)如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴，y轴上的截距？
[提示] 法一：将直线方程化为斜截式和截距式，
可求直线的斜率和在x轴，y轴上的截距．
法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直线在y轴的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距．
PAGE2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．(重点)
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.探索并掌握平面上两点间的距离公式．(重点)
1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2.
通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1,2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
知识点1 两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
1.直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
B [解方程组得，因此交点坐标为(4,1)，故选B．]
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
2.若方程组无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2 [方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2.]
知识点3 两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相交
k1≠k
2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
或
重合
A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0
1.若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0满足A1B2＝A2B1，则l1与l2的位置关系是什么？
[提示] 平行或重合．
3.直线l1：4x－y＋3＝0与直线l2：3x＋12y－11＝0的位置关系是________．
l1⊥l2 [由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2.]
知识点4 两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
2.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
[提示] 可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
4.已知点P1(4,2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
2 [|P1P2|＝＝＝2.]
类型1 两条直线的交点问题
【例1】 (1)若直线x＋by＋9＝0经过直线5x－6y－17＝0与直线4x＋3y＋2＝0的交点，则b等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A．－24 B．24 C．6 D．±6
(1)D (2)A [(1)解方程组得
则直线x＋by＋9＝0经过点(1，－2)，
所以1－2b＋9＝0，解得b＝5，故选D．
(2)设交点坐标为(a,0)，则有
解得故选A．]
两直线交点在坐标轴上的处理方法
当两直线的交点在坐标轴上时，可设出交点坐标为(a,0)或(0，b)，然后代入直线方程求解．
[跟进训练]
1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，则a＝________.
－ [解方程组得
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.]
类型2 直线的平行与垂直问题
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m＝________.
(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________.
(1)2或－3 (2)1或－1 [法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.]
1．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.有关直线l1，l2的平行与垂直问题，如何解决更简单？
[提示] 对于垂直问题，可利用A1A2＋B1B2＝0解决；
对于平行问题，可先利用平行或重合的充要条件．
A1B2＝A2B1，求出参数的范围，再通过验证判断两直线是否重合．
2．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，用待定系数法如何去设与直线l平行和垂直的直线？
[提示] 与直线l平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
[跟进训练]
2．已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求m的值，使得l1和l2：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
[解] (1)由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
两直线显然不重合，即l1∥l2.
当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.
两直线重合．故l1∥l2时，m的值为－1.
(2)由1×(m－2)＋m×3＝0得m＝，
故l1⊥l2时，m的值为.
类型3 过定点(两条直线交点)的直线
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为( )
A．(－2,1) B．(1,2) C．(1，－2) D．(2,1)
(2)过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
(1)A (2)15x＋5y＋16＝0 [(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化为m(x＋2)－3y＋3＝0，
令得
即直线mx－3y＋2m＋3＝0过定点(－2,1)，故选A．
(2)法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(
)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0,
得λ＝.
代入(
)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.符合条件．]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
1．含有参数的直线恒过定点的问题
(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)法二：若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．
2．经过两直线交点的直线方程
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
[跟进训练]
3．(1)经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为________．
(2)若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________．
(1)x＋y－1＝0 (2)(－2,1) [(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0.
∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0.∴λ＝.
∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.
(2)方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化为a(x＋2)－x－y－1＝0，
令得
即直线(a－1)x－y＋2a－1恒过定点(－2,1)．]
类型4 两点间的距离公式及其应用
【例4】 (1)(对接教材P73例题)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2,3)的距离为，则点P的坐标是( )
A．(5,5)
B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1)
D．(5,5)或(1，－1)
(2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
(1)C [设点P(x，y)，则y＝.由|PA|＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)，故选C．]
(2)[证明] 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，
∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
坐标法及其应用
(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
②用坐标表示有关的量；
③将几何关系转化为坐标运算；
④把代数运算结果“翻译”成几何关系．
[跟进训练]
4．(1)△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A．
B．
C．
D．
(2)如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2.
(1)A [AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，∴|CD|＝＝.]
(2)[证明] 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系xDy.
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．
|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2.
1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [联立解得
∴交点(－1,1)在第二象限．故选B．]
2．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )
A．
B．
C．3
D．2
D [由两点间的距离公式，得
|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，
故＝＝2.]
3．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m＝________.
±6 [分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.]
4．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．
(3,3) [∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，
联立方程易得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何求两直线的交点坐标？
[提示] 解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
(2)直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
[提示] 当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．
(3)对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.两直线相交、平行或重合、垂直的充要条件是什么？
[提示] l1与l2相交?A1B2≠A2B1；
l1与l2平行或重合?A1B2＝A2B1；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(4)试写出两点间的距离公式．
[提示] P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝.
PAGE2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
学
习
任
务
核
心
素
养
1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
1.(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法．
[提示] (1)直线方程应为一般式．
(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：
P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________.
[d＝＝.]
知识点2 投影向量
设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，||＝|·n|.
知识点3 两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)求法：两条平行直线间的距离转化为求点到直线的距离．
(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
2.(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？
[提示] (1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
2.两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为( )
A． B． C． D．1
C [由两条平行直线的距离公式得：
d＝＝.]
类型1 点到直线的距离
【例1】 (对接教材P77例题)(1)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－
B．或－6
C．－或
D．0或
(2)已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．
(3)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为________．
(1)B (2) (3)－1 [(1)依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6，故选B．
(2)因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝.故答案为.
(3)直线方程可化为m(x－2)－y＋1＝0，
令得.即直线mx－y＋1－2m＝0
恒过定点Q(2,1)且斜率为m，当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点P到直线的距离最大．
此时m·＝－1，所以m＝－1.]
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[跟进训练]
1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为( )
A．4
B．2
C．4
D．3
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程为________．
(1)D (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 [(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离
d＝＝≥＝3，
∴d有最小值3，故选D．
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.]
类型2 两条平行线间的距离
【例2】 (1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．4
B．
C．
D．
(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
(1)D [∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2.
∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0.
法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝.
法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离
d＝＝即为所求．]
(2)[解] 当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
求两条平行直线间的距离的两种思路？
[提示] (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[跟进训练]
2．(1)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是________．
(2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为________．
(1)5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0 (2)x＋y－6＝0 [(1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，
由两平行直线间的距离公式，得＝2，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0.]
类型3 利用距离公式解决最值问题
【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？
[解] (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0即所求的d的取值范围是(0,3]．
(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.
[跟进训练]
3．(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
[解] (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
由解得
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
类型4 对称问题(选讲内容)
【例4】 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴P′点坐标为(－2,7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，
即3x－y－17＝0.
1．直线关于点的对称
(1)直线关于点的对称直线的求法：
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程．
(2)直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0.
2．点关于直线的对称
(1)若点P关于直线l的对称点为P′，则直线l为线段PP′的垂直平分线，于是有等量关系：a.kPP′·kl＝－1(直线l的斜率存在且不为零)；b.线段PP′的中点在直线l上；
(2)如图，已知P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来求：
第一步，直线PP′和l垂直，故kPP′·k1＝－1；①
第二步，PP′的中点刚好在直线l上，
即点满足直线方程Ax＋By＋C＝0，
得到A·＋B·＋C＝0.②
联立①②式可以解出x′，y′.
(3)常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下：
点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)．
[跟进训练]
4.如图，一束光线从原点O(0,0)发出，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
[解] 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为( )
A．1 B．－1 C． D．－
CD [由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±.]
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是( )
A．
B．
C．2
D．1
A [2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式得d＝＝.]
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．3
B [点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.]
4．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
2x－y＋1＝0 [设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝，解得m＝1.
故所求直线方程为2x－y＋1＝0.]
5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．
4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0 [设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，
即|C－7|＝10.
解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出点到直线的距离公式．
[提示] 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝.
(2)试写出两条平行线间的距离公式．
[提示] 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
(3)如何解决与距离有关的最值问题？
[提示] ①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．
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