2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点)2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
如图所示，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1,2)，而且半径为2.
(1)判断点A(3,2)是否在⊙C上；
(2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？
知识点1 圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
[提示] 当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
D [由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D．]
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋(y0－b)22.点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上都不对
B [∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．]
类型1 求圆的标准方程
【例1】 (对接教材P84例题)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的标准方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程．
[解] (1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心，
|AB|＝为半径．故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得即圆心的坐标是(3,2)．所以圆的半径r＝＝2.
所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆心坐标为(a，b)，半径为R(R>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2，
由题意得
解得
所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
[解] (1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)设圆心为M(a,0)，∵|MC|＝|MD|，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝|MC|＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
类型2 点与圆的位置关系
【例2】 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．点P在圆内
B．点P在圆外
C．点P在圆上
D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．
(1)B (2)[0,1) [(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)由题意知
即解得0≤a<1.]
试总结点与圆的位置关系的判断方法．
[提示] (1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；
(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r2的大小．
[跟进训练]
2．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
[解] (1)因为点A在圆的内部，
所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
且a不为0，解得a<－2.5.
(2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，
解得a＝－2.5.
(3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
类型3 与圆有关的最值问题
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，试求x2＋(y－4)2的最值．
x2＋?y－4?2有什么几何意义？如何求圆上一点和圆外一点距离的最大值和最小值？
[解] (1)由已知得，圆心C(3,0)，半径r＝|AB|＝2，
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)x2＋(y－4)2表示点M(0,4)与圆C上任意一点P(x，y)的平方，即|PM|2的距离．
由(0－3)2＋42>4知点M(0,4)在圆C外部．
又|MC|＝＝5，
∴|PM|max＝5＋2＝7，|PM|min＝5－2＝3.
∴|PM|＝49，|PM|＝9.
即x2＋(y－4)2的最大值为49，最小值为9.
已知点?x，y?在圆?x－a?2＋?y－b?2＝r2?r>0?上，求d＝的最值问题的处理方法如下：
?1?求圆心O?a，b?与定点M?m，n?间的距离dMO.
?2?根据圆的几何性质知，
①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；
②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.
[跟进训练]
3．设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
＋2 [因为P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，
所以表示点M(1,1)与该圆上任意一点P(x，y)的距离|PM|.
因为12＋(1＋4)2>4，所以点M(1,1)在圆外．
设圆心为C(0，－4)，则|MC|＝＝，
所以|PM|max＝＋2，即的最大值为＋2.]
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)，
B．(1，－5)，
C．(－1,5)，
D．(1，－5)，3
B [由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－5)，半径r＝，故选B．]
2．圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D [由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．]
3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
B [由12＋32<24知，点P(1,3)在圆内，故选B．]
4．已知P(x，y)是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则x2＋y2的最小值为________．
3－2 [x2＋y2表示点P(x，y)与原点O(0,0)的距离的平方|PO|2.
由(0－1)2＋(0－1)2>1知原点O在圆外．
设M(1,1)，则|MO|＝，则|PO|min＝－1.
从而|PO|＝3－2.即x2＋y2的最小值为3－2.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试写出圆的标准方程．
[提示] 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？
[提示] 点P在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
点P在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2(3)如何求圆C外一点M和圆C上任意一点P的距离|PM|的最值？
[提示] 先求点M和圆心C的距离|MC|，则
|PM|max＝|MC|＋r，|PM|min＝|MC|－r.
PAGE2.4.2 圆的一般方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握圆的一般方程及其特点．(重点)2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)3.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)
1.
通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.
通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.
把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
(1)圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，当点M在圆外、圆上、圆内时，x0，y0满足怎样的关系式？
[提示] 点M在圆外?x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0；点M在圆上?x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；点M在圆内?x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.
(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．
(2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
(1)(3,0) (2)4 [(1)方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，
则圆心坐标为(3,0)．
(2)由题意知解得]
类型1 圆的一般方程满足的条件
【例1】 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
①求实数m的取值范围；
②写出圆心坐标和半径．
(1)(－2，－4) 5 [方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.]
(2)[解] ①法一：根据D2＋E2－4F>0求解．
由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
法二：化为圆的标准方程求解．
方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为
(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m.
由题意知1－5m>0，即m<.
所以实数m的取值范围是.
②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
(1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．
(2)将该方程配方为＋＝，根据圆的标准方程来判断．
[跟进训练]
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
[解] 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝|m－2|.
类型2 求圆的一般方程
【例2】 (对接教材P86例题)已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5,3)，E(4,2)，F(1,1)．
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
[解] (1)由题意可知kED＝kAB＝＝1，
又F(1,1)为AB的中点，
∴AB所在直线的方程为y－1＝1·(x－1)，即x－y＝0.①
同理CA所在直线的方程为x－2y＝0，②
联立①②，得A(0,0)．
因此直线AB的方程为x－y＝0，点A的坐标为(0,0)．
(2)由线段AB的中点F(1,1)及A(0,0)得B(2,2)，由线段AC的中点E(4,2)及A(0,0)得C(8,4)，
设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C的坐标代入圆的方程可得
解方程组可得
∴圆的方程为x2＋y2－16x＋12y＝0.
试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤．
[提示] (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是________．
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
(1)x2＋y2－4x－4y－2＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心是，
由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.]
(2)[解] 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
类型3 求动点的轨迹方程
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？
[解] (1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
[跟进训练]
3．(1)已知圆x2＋y2＝1，点A(1,0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝
D．x2＋y2＝
(2)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
(1)D [设D(x，y)，
由∠BAC＝60°知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，
∠DBO＝30°，则OD＝OB＝，
∴x2＋y2＝，
当C→A时，∠DAO＝30°，AD＝，此时x＝，
∴BC中点D的轨迹方程是x2＋y2＝，故选D．]
(2)[解] 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴ ①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9. ②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16
B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4
D．(2，－3)，16
C [圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2,3)，半径r＝4，故选C．]
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
D [原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b)．]
3．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．m< B．m> C．m<1 D．m>1
A [由二元二次方程表示圆的充要条件可知，(－1)2＋12－4m>0，解得m<，故选A．]
4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
所以
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
5.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
x2＋y2＝9 [设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为
以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
?1?试写出圆的一般方程.
[提示] x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0?D2＋E2－4F>0?.
?2?二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
[提示] A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
?3?求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
[提示] 直接法、定义法、相关点法.
PAGE2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点)
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示．
我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
A [圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．]
类型1 直线与圆的位置关系
【例1】 (对接教材P91例题)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
[提示] (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
(1)A (2)C [(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．]
类型2 直线与圆的相切问题
【例2】 (1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．
(2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，求直线l的方程．
(1)15x＋8y－36＝0或x＝4 [因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.]
(2)[解] 根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，
即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)，
直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0.
若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？
[解] 设圆心C(3,1)，则|AC|＝＝，
则切线长d＝＝4.
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0
B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0
D．2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
(1)B (2)C [(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.]
类型3 直线与圆相交问题
【例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？
[解] (1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.
法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，
则圆心C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－6＝0的距离d＝＝，则弦长|AB|＝2eq
\r(?\r(5)?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\r(10))))＝.
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝eq
\r(?\r(25)?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2))))＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
求圆的弦长的两个方法
圆的性质
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题
交点坐标
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
[跟进训练]
3．(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
(1)2 (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4 [(1)设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
∵|CA|＝＝，
∴半弦长为＝＝.
∴最短弦的长为2.
(2)设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝.
又由题意知，半弦长为，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.]
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
B [∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，
∴直线不过圆心．]
2．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2
B．－12
C．2
D．12
CD [圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，
得b＝2或12.]
3．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为( )
A．±1
B．±
C．±
D．±2
A [由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝eq
\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2))))＝＝，所以有＝，解得k＝±1.]
4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________．
x＝2或y＝3 [∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴＝1，∴k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.]
5．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
[由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
?1?判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
[提示] ①几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
?2?如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
[提示] ①点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程.
②点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况.
?3?直线和圆相交时，如何求弦长？
[提示] ①利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题.
②利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.
PAGE第2课时 直线与圆的方程的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点)
通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m．当水面下降1
m后，水面宽多少米？
如何才能正确地解决上述问题？
知识点 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
一涵洞的横截面是半径为5
m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
D [没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]
类型1 直线与圆的方程的实际应用
【例1】 (对接教材P93例题)某圆拱桥的水面跨度为20
m，拱高为4
m．现有一船，宽10
m，水面以上高3
m，这条船能否从桥下通过？
[解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有
A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有解得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3
m,3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
[提示] (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
1．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间为________小时．
1 [如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE＝20km，在Rt△BEN中，NE＝＝10，则|MN|＝20，所以时间为1
h．]
类型2 直线与圆的综合性问题
【例2】 (1)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋ C．1＋ D．1＋2
(2)已知圆M与直线x＝2相切，圆心在直线x＋y＝0上，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，则圆的方程为________．
(1)B (2)x2＋y2＝4 [(1)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(1,1)，半径为1.
所以圆心(1,1)到直线x－y＝2的距离d＝＝，
则所求距离的最大值为1＋.
(2)因为圆心在直线x＋y＝0上，所以设圆心M(a，－a)，因为圆M与直线x＝2相切，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，
所以解得所以圆的方程为x2＋y2＝4.]
已知直线和圆的位置关系求圆的方程
已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程．
基本步骤为：设所求圆的方程→根据已知位置关系或数量关系建立方程→解出参数并检验→确定圆的方程．
[跟进训练]
2．(1)M为圆x2＋y2＝1上的动点，则点M到直线l：3x－4y－10＝0的距离的最大值为________．
(2)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x被圆所截得的弦长为2，则此圆的方程为________．
(1)3 (2)(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9[(1)圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)到直线3x－4y－10＝0的距离为d＝＝2，又圆的半径r＝1，故M点到直线l的最大距离为d＋r＝2＋1＝3.
(2)因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，所以设圆心坐标为(3b，b)，圆的半径为3|b|，故圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x被圆所截得的弦长为2，所以＋()2＝9b2，解得b＝±1，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.]
类型3 与圆有关的最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
式子，t＝ax＋by各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式的最值？
[解] 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．
此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则＝2，即|6－b|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
(1) (2) (3)
与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
[跟进训练]
3．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 方程(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为圆心．
(1)为半径的圆，设＝k，即y－kx＝0，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A． B． C．1 D．3
A [由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.]
2．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A．2.4米
B．3.5米
C．3.6米
D．2.0米
B [以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去)．]
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D [由题意可设圆心坐标为(a，－a)，则＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，又＝2r，所以r＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选D．]
4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________．
－ [方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
令y－x＝b，则y＝x＋b，b是直线y＝x＋b在y轴上的纵截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值和最小值，又圆心(2,2)则＝1，即|b|＝，∴b＝±，因此y－x的最小值为－.]
5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
[∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
[提示]
(2)与圆有关的最值问题有哪些类型？
[提示] ①形如u＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
③形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
PAGE2.5.2 圆与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．(重点)2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法．(重点)3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点)
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
观察下面这些生活中常见的图形，感觉一下圆与圆之间有哪些位置关系？
前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？
知识点 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r
2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为：
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？
[提示] 两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．
( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．
( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
( )
[提示] (1)× 只有一组实数解时可能外切也可能内切．
(2)× 当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．
(3)× 只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．
2.圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．
外切 [圆O1的圆心O1(－2,2)，半径r1＝1，
圆O2的圆心O2(2,5)，半径r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2
∴圆O1与圆O2外切．]
类型1 两圆位置关系的判断
【例1】 (对接教材P96例题)(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A．1或3 B．4 C．0 D．2
(2)当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
(1)D [由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝，
∴|C1C2|＝＝.则r1－r2<|C1C2|(2)[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当＋1＜5，
即34＜k＜50时，两圆外离．
试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤.
[提示] ?1?将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.
?2?计算两圆圆心的距离d.
?3?通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
[跟进训练]
1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
①相切；②相交；③外离；④内含．
(1)C [圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径等于3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径等于2.
两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，
两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，
故选C．]
(2)[解] 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
①当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
②当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
③当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
④当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．
类型2 两圆相切问题
【例2】 (1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
(1)2或－5 [C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.]
(2)[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，
由圆与直线y＝0相切、半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16.
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2.
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36 [设圆C的半径为r，
又圆心距d＝＝5，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.]
类型3 两圆相交问题
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
两圆的公共弦的端点同时在两个圆上，由此你想怎样求公共弦所在的直线方程.
[解] (1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为.
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
[解] 由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程．
因圆C1的圆心(－3,0)，r＝.
C1到直线AB的距离d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝5.
即两圆的公共弦长为5.
弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线．
∵C1(－3,0)，C2(0，－3)．
∴AB的中垂线方程为＋＝1，即x＋y＋3＝0.
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解] 根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0.
∴由得圆心，
由母题探究1解析知|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝.
1．两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟进训练]
3．(1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为( )
A．5
B．5
C．10
D．10
(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．
(1)D (2) [(1)公共弦所在的直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
圆心为(5,5)，半径r＝，
圆心(5,5)到直线4x＋3y－10＝0的距离为d＝＝5，
所以公共弦长为2＝10，故选D．
(2)由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
设圆C3的半径为r，
由条件知，r2－d2＝－＝，
所以弦长为2×＝.]
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
B [化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝＝2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2
B．－5
C．2或－5
D．不确定
C [圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.
依题意有＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.]
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
C [AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D．]
4．圆心为C(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则圆C的方程________．
x2＋y2－4x＝0 [设x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R，
x2＋y2＋4x－6y＋4＝0?(x＋2)2＋(y－3)2＝9，
所以圆心A坐标为(－2,3)，半径r为3，圆心距为|AC|＝＝5，因为两圆相外切，所以有|AC|＝r＋R?R＝2，故圆C的方程为：(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.]
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
1 [将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
?1?判断两圆的位置关系有哪些方法？
[提示] ①几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；
②代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题.
?2?两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？
[提示] 圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，,两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；,两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|.
?3?两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？
[提示] 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
PAGE第2章
直线和圆的方程
类型1 求直线的方程
求直线方程时，一是根据题目条件确定点和斜率或者确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；
二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含有参数或待定系数)，再确定方程(即求出参数值)，此时求直线方程的方法可称为间接法(即为待定系数法)，这是最常见的方法．
【例1】 已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)AC所在的直线的方程；
(2)点B的坐标．
[解] (1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组
化简得解得故B(－1，－3)．
[跟进训练]
1．已知△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.
[解] 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB,1)．
∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，
∴点D的坐标为.
∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t)．
∴AC的中点E的坐标为.
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
类型2 两条直线的位置关系
(1)两条直线的位置关系如下表所示．
项目
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
或
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋n＝0.
【例2】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，
即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
[跟进训练]
2．(1)“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直，共垂足为(1，p)，则m＋p＝________，n＝________.
(1)A (2)8 －12 [(1)当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当两直线垂直时，可得a(2a＋1)－3a＝0，解得a＝0或1，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A．
(2)∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，∴×＝－1∴m＝10.
直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0，
垂足为(1，p)代入得5＋2p－1＝0，
∴p＝－2，∴m＋p＝8，
把(1，－2)代入2x－5y＋n＝0可得n＝－12.]
类型3 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝
点到直线的距离
P(x0，y0)
l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
d＝(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)
d＝
【例3】 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
[解] 当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，
∴y＝x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
[跟进训练]
3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0,
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝.
类型4 对称问题
(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．
(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．
(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．
【例4】 光线通过点A(2,
3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解之得，A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0,4x－5y＋1＝0.
1．在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程．
[解] 由本例解析知，点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(－4，－3)．所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|A′B|.
即|A′B|＝＝.
2．把本例条件中“直线l：x＋y＋1＝0”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 点A(2,3)关于x轴对称点为A′(2，－3)．
∴反射光线方程为＝，即4x＋y－5＝0.
又∵反射光线与x轴交点为.
∴入射光线方程为＝，
即4x－y－5＝0.
类型5 求圆的方程
求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
【例5】 一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．
[解] 由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1,0)，半径为1.
∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[跟进训练]
4．已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．
[解] (1)由解得两直线交点为(2,1)，
∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2,1)，
∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.
(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y
2＝r2(a>0)，则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(?1－a?2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
类型6 直线与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．
【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
[跟进训练]
5．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解] (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4,
－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3,
－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
类型7 圆与圆的位置关系
判断两圆位置关系的两种方法比较：
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
【例7】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2,
3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解] (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2,
3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
[跟进训练]
6.在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D．若AB＝，求CD的长．
[解] 因为AB＝，圆O半径为2，
所以点O到直线AB的距离为，显然AB，CD都不平行于坐标轴．
可知AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
则点O到直线AB的距离d＝＝，解得k＝±.
因为AB⊥CD，所以kCD＝－，
所以CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0.
点M(2,1)到直线CD的距离d′＝＝，
所以CD＝2＝2eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝.
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D．易知当直线l⊥AC(图略)时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A．
B．
C．
D．
B [因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1
B．
C．
D．2
B [记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．]
4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[，3]
D．[2，3]
A [圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]
5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
2 [由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
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