(共24张PPT)
3.3.2
抛物线的简单几何性质
人教A版（2019）
选择性必修第一册
复习回顾
1.
抛物线的定义?
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
复习回顾
2.
抛物线的标准方程?
l
F
y
x
O
y2
=
2px
（p＞0）
x2
=
-2py
（p＞0）
y2
=
-2px
（p＞0）
x2
=
2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
探索研究
利用数形结合思想方法，从图形、方程两个角度．
椭圆
双曲线
类比
抛物线
1.范围（代数法、几何法两种方法研究）
以
为例研究抛物线的几何性质
抛物线
y2
=
2px
(p＞0)
在
y
轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M
的坐标
(x,
y)
，横坐标满足不等式
x
≥
0；当x
的值增大时，|y|
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
抛物线是无界曲线．
范围
抛物线上的点
，
，
．
几何法
代数法
新知讲解
2.对称性——关于
轴对称
P1(x,
-y)
轴
所以抛物线关于
轴对称.
观察图象，可以发现，抛物线
关于
x
轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
新知讲解
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线的顶点坐标是坐标原点
(0,
0)
．
3.
顶点
抛物线的标准方程为
，抛物线关于
轴
对称，当
时，
．抛物线的顶点就是原点．
新知讲解
4.离心率
抛物线上的点M
与焦点F的距离和点M到准线的距离
的比
，叫做抛物线的离心率.
用
e
表示，由抛物线的定义可知e
=
1．
新知讲解
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;
【总结归纳】
新知讲解
直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
新知讲解
典型例题
例3：已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在原点，并且经过点
求它的标准方程.
解：因为抛物线关于
轴对称，它的顶点在原点，并且经过点
，可设它的标准方程为：
.
因为点M在抛物线上，所以
，解得P=2.
因此，所求抛物线的标准方程是
新知讲解
典型例题
例4:
斜率为1的直线l经过抛物线
的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知，
，焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为
.如图，设
，A，B两点到准线的距离分别为
.由抛物线的定义，可知
新知讲解
典型例题
将
①代入方程
得
化简，得
所以
所以，线段AB的长是8.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1
①
于是
新知讲解
典型例题
例5:
经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
证明：如图，以抛物线的对称轴为
轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系
.设抛物线的方程为
①
点A的坐标为
，则直线OA的方程为
抛物线的准线方程是
③
②
新知讲解
典型例题
联立②③，可得点D的纵坐标为
因为焦点F的坐标为
时，直线AF的方程为
④
联立①④，消去x，可得
，即
可得点B的纵坐标为
，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
当
时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
新知讲解
典型例题
例6:如图，已知定点B（a,-h),BC⊥x
轴于点C,
M是线段OB上任意一点,
MD⊥x轴于点D,
ME⊥BC于点E,
OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.
解：设点
则点E的坐标为(a,m).由题意，直线OB的方程为：
①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得
②
所以点P的横坐标x满足②，直线OE的方程为
③
即点P的轨迹方程.
因为点P在OE上，所以点P的坐标满足③.
将②代入③，消去m，得：
课堂练习
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2
B.1
C.4
D.8
C
课堂练习
2.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
课堂练习
3.
直线
与抛物线
相交于，A,B两点，求线段AB的长．
解：
的直线方程为
①，将方程①代入抛物线
方程
，化简得到
．根据根与系数的关系
，
，所以
．
因为
，
，
所以
．
所以
．
课堂总结
图形
标准方程
范围
对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
定点
原点
原点
原点
原点
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
l
F
y
x
O
y2
=
2px
（p＞0）
x2
=
-2py
（p＞0）
y2
=
-2px
（p＞0）
x2
=
2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y≤0
x∈R
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
板书设计
1.范围
2.对称性
例3,4,5,6
四、作业布置
三、典型例题
二、抛物线的简单几何性质
一、知识回顾
3.3.2
抛物线的简单几何性质
3.顶点
4.离心率
作业布置
数学选择性必修第一册教科书
第136页练习2、3、4.
138页
习题3.3
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2抛物线的简单几何性质教学设计
课题
3.3.2抛物线的简单几何性质
单元
第三单元
学科
数学
年级
高二
教材分
析
本节课是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
课程目标与核心素养
课程目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。学科素养1.数学抽象：抛物线的几何性质；
2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质；
3.数学运算：运用抛物线的方程推导其几何性质；4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用.
重点
理解抛物线的范围、对称性及对称轴、对称中心、离心率、顶点的概念.
难点
能运用抛物线的方程和几何性质处理一些简单的问题.
教学准备
多媒体课件、实物投影仪、学生自己画椭圆.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
1、抛物线的定义？我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的标准方程
学生回顾上节课的内容.
复习引入，温故而知新.
讲授新课
探索研究思考？你认为应该研究抛物线
的哪些几何性质，如何研究这些性质？利用数形结合思想方法，从图形、方程两个角度．以为例研究抛物线的几何性质？范围（代数法，几何法两种方法研究）几何法抛物线在轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点的坐标的横坐标满足不等式
x
≥
0；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．代数法
对称性——关于x轴对称
抛物线方程为，以-y代y得到观察图象，可以发现，抛物线关于
x
轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．顶点
抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点.由当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4.离心率抛物线上的点M
到焦点F的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.
用
e
表示，由抛物线的定义可知e
=
1．
【总结归纳】(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.典型例题例3：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，可设它的标准方程为，因为点M在抛物线上，所以，解得.因此，所求抛物线的标准方程是.例4：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相较于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知，，焦点F点的坐标为（1,0），准线方程为.如图，设，A，B两点到准线的距离分别为.由抛物线的定义，可知，于是,因为直线的斜率为1，且过焦点F(1,0)，所以直线的方程为
①，将①代入方程，得，化简，得.所以，所以线段AB的长是8.
例5：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为
①点A的坐标为
，则直线OA的方程为，②
抛物线的准线方程是
③.联立②③，可得点D的纵坐标是时，直线AF的方程为,
④
联立①④，消去x，可得，即，可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.当是，易知结论成立.所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.例6：如图，已知定点轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.解：设点，则点E的坐标为(a,m).由题意，直线OB的方程为：
①
因为点在OB上，将点M的坐标代入①，得
②所以点P的横坐标x满足②，直线OE的方程为
③因为点P在OE上，所以点P的坐标满足③.将②代入③，消去m，得：
，即点P的轨迹方程.
课堂练习1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2
B.1
C.4
D.8答案:C2.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.解:y=mx2(m≠0)可化为,其准线方程为.由题意知,解得或,故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.3.直线
与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长．解：AB的直线方程为①，将方程①代入抛物线，化简得到.根据根与系数的关系.因为，所以，所以.
学生自己动手操作.学生独立思考、讨论交流.学生分析解题思路，教师展示过程.
数形结合，使学生了经历知识的形成过程，对抛物线的性质认识由感性认识上升到理性认识.通过典例解析，综合运用抛物线几何性质，进一步体会数形结合的思想方法.发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
课堂小结
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§3.3.2
抛物线的简单几何性质知识回顾二、抛物线的简单几何性质
三、典型例题范围
四、课堂小结对称性
五、作业布置
顶点点离心率
教学反思
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
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（共
2
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