课题 1.4圆的极坐标方程 授课日期 年 月 日
共 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 掌握两类过极点的圆的极坐标方程
过程与方法 再次体会用三角、几何知识导出极坐标方程的步骤和方法
情感、态度、价值观 了解求曲线的极坐标方程的过程，体会用极坐标方程描述曲线的方便之处
教学重点 掌握圆的极坐标方程并会转化为直角坐标方程
教学难点 会求过极点且圆心在点（a，0），（a，π/2）上的极坐标方程
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计 个案设计
教师活动 学生活动
复习： 圆心在极点，半径为的圆的极坐标方程 设问：当圆心不在极点时，圆的极坐标方程是什么？圆心在极轴上且过极点的圆法1 圆心在极轴上的点处，且圆过极点，为圆与极轴的另一个交点，为圆上的动点，连接和。在直角三角形中， 由三角知识可得 ， 坐标满足此方程的点也在该圆上。 因此得该圆的方程。法2 先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程。建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为，半径为故圆的直角坐标方程为 即由坐标变换公式得即 例1 写出圆心在点且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程。例2 从极点作圆的弦，求各条弦中点的轨迹方程。 练习2.圆心在点处且过极点的圆圆与射线的交点为，在圆上任取一点，连接和，则，在直角三角形中， 由三角知识可得该式对也成立。 易知，只要坐标满足此方程，相应的点一定在该圆上。因此得该圆的方程为，该圆的极坐标方程也可以由它的直角坐标方程 变换得出。例3 写出圆心在点且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程。例4写出圆心在点处，且过极点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程。探索与研究圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义三种圆锥曲线的共同几何特征是：圆锥曲线是到定点（焦点）和某定直线（准线）的距离之比等于常数（离心率）的点的轨迹。记焦点为，准线为离心率为如图，以焦点为极点，Ox为极轴建立极坐标系，Ox与准线l垂直，极轴所在的直线与l交于D点。设曲线方程为，在曲线上任取一点，过点M作准线l的垂线MN,过极点O作MN的垂线OE，交曲线于点A，作AB//MN，记。当离心率e和p给定后，圆锥曲线就完全确定了。根据圆锥曲线的几何特征，得到下面表达式其中，，因此得，它表示焦点到相应准线的距离，又 从而得 化简得圆锥曲线的极坐标方程 方程中参数确定了曲线的三个类型：e<1时为椭圆，e=1时为抛物线，e>1时为双曲线。对椭圆和双曲线来说例 1 “神州五号”载人飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，近地点高度为200km，远地点高度为350km，求轨道参数e和p解：例 2 以椭圆的左焦点为极点,x轴正方向为极轴方向，用公式直接写出此椭圆的极坐标方程解：例 3 记抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度。解： 思路分析1、把所设曲线上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来、 即明确长度与角度是哪一边，哪一个角2、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形3、利用三角形的边角关系的公式与定理（正弦定理）列等式（方程）注：上节曾用描点法作过此方程的图象将极坐标方程化为直角坐标方程常用的方法：用去乘方程的两端。3+1教学建议阅读教材，自学圆锥曲线极坐标方程的推到过程3+1教学建议完成练习册上选择题
课堂小结 1．圆心在极点，半径为的圆的极坐标方程 2.圆心在极轴上且过极点的圆 ， 3.圆心在点处且过极点的圆 ，
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教学反思
教研组长 共案： 个案：
评价 等级： 签字：
时间：课题 1．3曲线的极坐标方程 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 理解极坐标方程和直角坐标方程的区别
过程与方法 先复习曲线的直角坐标方程，逐步引出曲线的极坐标方程，使学生初步了解此概念。
情感、态度、价值观 通过对比写出曲线的极坐标方程与直角坐标方程加深极坐标方程的认识
教学重点 掌握圆和直线的极坐标方程并会转化为直角坐标方程
教学难点 掌握圆和直线的极坐标方程并会转化为直角坐标方程
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
一．曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F。如果曲线C是由极坐标满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F为曲线C的极坐标方程。2.极坐标方程与直角坐标方程的异同在前面我们已学到，曲线的直角坐标方程必须满足：①曲线C上任一点的坐标（x,y）都满足方程；②所有适合方程的（x,y）所对应的点都在曲线C上。而曲线的极坐标方程是不同的，由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处。一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程，有些表示形式可能不满足方程。例如：对极坐标方程，点M可以表示为或等多种形式，其中只有的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程。二、两种方程的互化1.当我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x轴正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，则有和利用这两个公式我们不仅把平面上点的两种坐标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行转化。 2.在进行两种坐标间的相互转化时，我们要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的。极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同。（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在[范围内求值。（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简。三．极坐标方程的图形的对称性1.今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即为的一个函数。由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形对称性：若，则图形就在于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O对称。2.给定极坐标方程F=0，可以用描点法作它的图像，这和作普通方程的图像类似。给定了曲线，求它的极坐标方程，就是在极坐标系下把此曲线的几何性质用代数式写出来。例3 在极坐标系中，作出方程的图形。解：描点作图，适当取的某些值，按方程计算相应的值。列表如下：- - - - 0 0 1 2 1 0作出相应的点，光滑地连成曲线，这是以OD为直径的圆，D点的极坐标为（2，0）。作此图形时，也可利用对称性。因为是的偶函数，所以图形关于极轴对称。先作与对应的方程的图形，再用关于极轴的对称性作出下半部分的图形（与对应）。例4 设极点O到直线L的距离为d。由点O向直线L作垂线，由极轴到垂线OA的角度为（如图1-17所示）。求直线L的极坐标方程。解：在直线L上任取一点M（）。在直角三角形OMA中用三角知识得即这就是直线L的极坐标方程。由此可见。直线的极坐标方程形式比普通方程复杂，因此只在特殊情况下才用直线的极坐标方程。在此例中，当时，直线L与极轴垂直，此时方程变为；当时，直线L与极轴平行，此时方程变为，若，则直线过极点，设此时直线与极轴的夹角为，则直线的方程为和，若允许取负值，则方程为 3+1教学建议阅读教材，自学曲线的极坐标方程的过程3+1教学建议（1）极坐标方程表示什么曲线？（2） 极坐标方程示什么曲线？3+1教学建议由学生动手完成例3练习：化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线.(2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆. 【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.
课堂小结
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教学反思
教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：
呼和浩特市第十四中学教案
课题 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能
过程与方法
情感、态度、价值观
教学重点
教学难点
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
课堂小结
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教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：
呼和浩特市第十四中学教案
课题 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能
过程与方法
情感、态度、价值观
教学重点
教学难点
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
课堂小结
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教学反思
教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：
呼和浩特市第十四中学教案
课题 授课日期 年 月 日
第 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能
过程与方法
情感、态度、价值观
教学重点
教学难点
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
课堂小结
板书设计
教学反思
教研组长评价 共案： 个案： 等级： 签字： 时间：课题 1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换 授课日期 年 月 日
共 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 复习直角坐标系，初步了解平面上的一种简单变换——伸缩变换。
过程与方法 通过复习几种正弦函数的图形关系，体会坐标变换在平面图形的变换中的作用
情感、态度、价值观 通过复习直线，平面和空间点的坐标，体会坐标系的作用。
教学重点 强调点与数的结合，用代数方法刻画几何图形的思想
教学难点 掌握平面图形的伸缩变换的方法
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计 个案设计
教师活动 学生活动
坐标系：1.建立坐标系（1）直线坐标系（数轴） 直线上的点与全体实数之间建立了一一对应关系。平面直角坐标 平面上的点与全体有序实数对之间建立了一一对应关系。空间直角坐标 空间内任意一点与三个有序实数对之间建立了一一对应关系。2. 根据几何图形的特点建立直角坐标系的规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。二.平面直角坐标系中的伸缩变换1.设点为正弦曲线上的任意一点，如果保持横坐标不变，把纵坐标变为原来的3倍，则点变为平面上新的点Q（X，Y），其中坐标间的关系式为： （1-1）坐标变换公式（1-1）适用于正弦曲线上的所有点，因此原来的正弦曲线变为新的曲线，即。此曲线把原来正弦曲线的“振幅”增大到它的3倍。坐标 变换公式（1-1）表示平面上的一种伸缩变换。2.设为正弦曲线上的任意一点，如果保持纵坐标不变，把横坐标变为原来的，则点变为平面上新的点Q（X，Y），坐标变换公式为：它也表示平面上的一种伸缩变换，它把原来的正弦曲线变为新的曲线。此曲线把原来正弦曲线的“周期”缩小为它的，即周期。3.设为正弦曲线上的任意一点，按下面坐标变换公式把变为平面上新的点：平面上的这一坐标变换把正弦曲线变为新的曲线，即。此曲线把正弦曲线的振幅增大到3，同时周期变为。此变换可看作上述两个变换的“复合”：先保持不变，把横坐标变为原来的；在此基础上，再把纵坐标变为原来的3倍。4.平面上的伸缩变换的定义：设点为曲线上任意一点，若把曲线上的每一点的横坐标 变为原来的a倍，纵坐标变为原来的b倍，其中则点P对应点为，基中间关系为：则把式称为平面上伸缩变换的坐标表达式。在伸缩变换下，直线仍然是直线，圆可能变成椭圆，但不能够实现直线与曲线的互化。三．伸缩变换的实例平面上伸缩变换的一个典型实例是圆在平行压缩（或拉伸）下变为椭圆，有一圆形的弹性物体，圆的方程为：。设物体受均匀的平行于轴的外力的压缩，而保持x轴上的直径不动，为圆上一点，在压缩后变到点。由于力F平行于y轴，因此，而。把代入上面圆的方程，得，即。这是椭圆的方程。这表明，圆被压缩后变为椭圆。注 （1）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （2）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 3+1教学建议阅读教材，自学直角坐标系，平面上的伸缩变换 学生自主完成书第2页练习 思考：在伸缩变换 下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？学生自主完成书第5页练习1,2
课堂小结 课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
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教学反思
教研组长 共案： 个案：
评价 等级： 签字：
时间：课题 1.2极坐标系 授课日期 年 月 日
共 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 了解极坐标系的意义，理解点的极坐标的不唯一性
过程与方法 能够建立适当的极坐标系解决数学问题
情感、态度、价值观 学会用极坐标表示平面上的点，体会极坐标的方便之处
教学重点 掌握极坐标与直角坐标的互化
教学难点 掌握极坐标表示平面上的点及点与极坐标的不唯一性
授课类型
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计 个案设计
教师活动 学生活动
一．极坐标系的概念：1.极坐标的思想： 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）这样就建立了一个极坐标系。3.极坐标系的四要素：①极点②极轴③长度单位④角度单位和它的正方向4.点的极坐标： 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。题组一：说出下图中各点的极坐标题组二：在极坐标系中作出下列各点。二、点与极坐标的对应关系 1.极点的极坐标极点的极径 =0，可以取任意值。极坐标为（0，）（R），极点有无数个极坐标。2. 点的极坐标的多样性给定点的极坐标（，）就唯一地确定了平面上的一个点。但给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。根据点的极坐标定义极坐标可分为两类： （，+2K）或（，+2K+）（KZ）由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系，这是极坐标与直角坐标的不同之处。如果限定0,0<2，则除极点外，平面上的点就与极坐标构成一一对应关系。三．极坐标系中点与点的位置关系1.同一个点：角的终边相同并且到极点的距离相等就表示同一个点。一般地，极坐标与表示平面内的同一个点2.位于同一个圆上的点：ρ为定值，θ[0，2）的点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆。3.对称性：（，）关于极轴的对称点为（，-）关于极点的对称点为（，+）关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，-）4.共线的点：其中为定值，>0则表示与极轴成角的射线四．已知极坐标如何描点已知点的极坐标，先找到极角，再根据极径来确定点的位置。当<0时先确定极角，再取其反向延长线。如点（-2，）所表示的点为（2，+）已知点求它的的极坐标，就是要找到极角和极径。例：点的极坐标为（-1，-），则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为（ ）A(1，) B(-1，)C(1,-) D(-1，-) 特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。探究一：（1）一个极坐标可以画出几个点（2）平面上一点的极坐标是否唯一？（3）若不唯一，那有多少种表示方法？（4）坐标不唯一是由谁引起的？（5）不同的极坐标是否可以写出统一表达式？探究二;（1）在极坐标系中，ρ恒为1的点的集合构成什么曲线？（2）θ恒为 的点的集合构成什么图形？书第8页练习3
课堂小结 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
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教学反思
教研组长 共案： 个案：
评价 等级： 签字：
时间：
A
B
C
D
E
F
G
O
X
O
X
P
M
(ρ,θ)…课题 极坐标与直角坐标的关系 授课日期 年 月 日
共 课时
三维目标（体现高考考点的落实） 知识与技能 掌握极坐标与直角坐标的变换公式能将曲线的极坐标与直角坐标方程互化。
过程与方法 通过学生的共同探讨，掌握知识技能。
情感、态度、价值观 通过极坐标与直角坐标系的关系，体会联系的观点。
教学重点 掌握极坐标与直角坐标的变换公式2、能将曲线的极坐标与直角坐标方程互化
教学难点 将曲线的极坐标与直角坐标方程互化
授课类型 新授课
教学设计（包括以下内容：①预习 ②设置问题、回答问题 ③合作探究 ④课堂训练）
共案设计（经集体讨论形成） 个案设计
教师活动 学生活动 （根据个人教学风格和学生特点形成）
一、课前铺垫、引入1.极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标，同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中坐标化为在另一种坐标系中的坐标。2、极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取得相同的长度单位，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是。互化公式 ，二、要点点拨1．在一般情况下，由tan确定角时，可以根据点所在的象限取最小正角。2.互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。三、极坐标系中的计算公式设A(),B() 两点间的距离公式|AB|=(2)AOB的面积公式 =sin(-)(3)向量与的数量积公式·=||cos(-)四．典例共探【例3】在直角坐标系中，以点（，）为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）解：由直角坐标的平移公式结合坐标变换公式,可得x-=cosy-=sinx=+cosy=+sin=+tan= 一、复习与预习:1、极坐标系的四要素2、极坐标系中，点M的极坐标统一表达式，点的统一极坐标表示式为3.已知两点的极坐标 则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即 AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=二、自我尝试，交流答案1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。A(,-)已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。3．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是（ ） 4．点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（ ） 三、自我探讨1、把下列普通方程化为极坐标形式（1）单位圆（2）一三象限角平分线（3）；2、把下列极坐标普通方程化为普通形式（1）。3．下列方程各表示什么曲线？（1）： 。（2）： 。（3）： 。
课堂小结 (1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对不是一一对应的,只有在规定,)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多种表示形式.(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程,再判断.
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教研组长 共案： 个案：
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