江苏省宜兴市张渚镇高中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

张渚镇高中2020-2021学年高二下学期期中考试
数学试卷 ?????2021.5
一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1 . 设复数满足，且 ，则可以是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
2. 函数在区间上的平均变化率为 （ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 （ ▲ ）
A. B. C. D.
4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”.其中正方形内部为“赵爽弦图”，正方形外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“风叶”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为 （ ▲ ）
A. B. C. D.
5. 若随机变量，，若，，则 （ ▲ ）
A. B. C. D.
6. 埃及金字塔之谜是人类历史上最大的迷，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，，……,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：，，，……若从这组神秘数字中任选
3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另外一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为 （ ▲ ）
A. 60 B. 48 C. 96 D. 120
7. 已知函（为自然对数的底数）在上有两个零点，则m的取值范围是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
8. 若且，且，且，则 （ ▲ ）
A. B. C. D.
二. 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题
（ ▲ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
10. 袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是
（ ▲ ）
A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
11. ，则 （ ▲ ）
A. 展开式中所有项的二项式系数和为
B. 展开式中所有奇次项系数和为
C. 展开式中所有偶次项系数和为
D.
12. 为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是 （ ▲ ）
参考数据：随机变量，则，
，．
A. 该校学生体育成绩的方差为10
B. 该校学生体育成绩的期望为70
C. 该校学生体育成绩的及格率不到
D. 该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则 ▲ .
14. 请你写出与函数的图像在原点处具有相同切线的一个三次函数
▲ .
15. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”， 则在组成的三位数中，“凹数”的个数为 ▲ .
16. 已知函数的极小值大于零，则实数的取值范围是 ▲ .
三. 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
▲ ▲ ▲
18.（本小题12分）
在①，②复平面上表示的点在直线上，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知复数，______，若.
（1）求复数；
（2）若，求的最小值
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
▲ ▲ ▲
19.（本小题12分）
一家面包店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图（如图所示）.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望.
20.（本小题12分）
已知函数，其中
（1）若函数的极大值为，求实数的值；
（2）若曲线在点处的切线与轴的交点为，求的最小值.
▲ ▲ ▲
21.（本小题12分）
某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为，两辆车的车牌尾号为，车的车牌尾号为，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车，已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的. 该公司所在地区汽车限行规定如下：
汽车车牌尾号 车辆限行日
0和5 星期一
1和6 星期二
2和7 星期三
3和8 星期四
4和9 星期五
（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.
▲ ▲ ▲
22.（本小题12分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若为函数的两个极值点，证明：.
参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A A B D B
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ABD BC
三、填空题
13、15 14、（答案不唯一） 15、 16、
四、解答题
17、（1）因为，
所以，
．……………………………2分
因为，
所以，
解得．……………………………………5分
（2）由（1）知，．
．………………………………………7分
解法一：
因为，所以，
从而．………………………………10分
解法二：
．
因为，所以．
因此．………………10分
18、解：方案一：选条件，
因为所以，?……………………2分
由于，所以?，解得?…………………………6分
所以，?，?
从而，? ?……………………………………8分
复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆…………………………10分
所以的最小值为……………………………………12分
方案二：选条件，
因为，所以，
在复平面上表示的点为，?……………………2分
依题意可知，得，??………………………………6分
所以，?，?
从而，? ???………………………………8分
复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆…………………………10分
所以的最小值为 ? ?…………………………………………………………12分
方案三：选条件，
因为，所以，?……………………2分
由，得，??………………………………6分
所以，?，?
从而，??………………………………8分
复数在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆…………………………10分
所以的最小值为…………………………………………………………12分
19. 解（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，表示事件“3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”
因此
……………………………………………………………………………………………………3分
………………………………………………………………………………………5分
（2）的可能取值为………………………………………………………………..6分（注：无列举不得分）
，
，……………………………….8分
的分布列为：
0 1 2 3




因为，………………………………………………………………………………………………………….10分
所以期望
方差…………………………………………………………………………………….12分
20、解：（1）由题意，函数，可得
，令得……………1分
列表：






0
0
增 极大值 减 极小值 增
极大值……………………4分（列表2分）
解得…………..5分
（2）有（1）知，可得，
所以切线方程为：，即
令，可得，即，则…………………6分
令，可得
令，可得，令，可得
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，（列表同样得分）....10分
所以当时，函数取得最小值，最小值为………………12分
21、解（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.
所以
答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为……………………………..4分
（2）由题意，的可能取值为0, 1, 2, 3, 4………………………………………………5分
；
0 1 2 3 4






答：的期望为…………………………………………………………………12分
22、（1）由题意，对于一元二次方程，
①当，即时，恒成立，即当时，恒成立，所以在上单调递增……………………………………..1分
②当，即或时，方程的解为
（i）若时，，则，所以在上单调递增…………………2分
（ii）当时，令，






0
0
递增 极大值 递减 极小值 递增
…………………4分
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在
单调递减………………………………………………………………………6分
（2）由（1）可知，时有两个极值点，且，不妨设
要证，即证，即……….10分
设，在恒成立，则在单调递减，所以，原式得证…………………………………………………………………………..12分