4.3.2探索三角形全等的条件（2） 课件（共25张PPT）

4.3.2探索三角形全等的条件（2）
第四章三角形
2021年春北师大版七年级数学下册
1．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法．（重点）
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．（难点）
学习目标
答：至少要有三个条件
A
B
C
D
E
F
数学表达：在△ABC和△DEF中
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴ΔABC≌ΔDEF（SSS）
公判定理1：三边对应相等的两个三角形全等，
简写成“边边边”或“SSS
判定三角形全等至少要有几个条件？
新课导入
　
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?
你能说明其中理由吗?
3
2
1
新课导入
三角形全等的判定（“角边角”）
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
探究新知
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
探究新知
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
探究新知
“角边角”判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
探究新知
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例题讲解
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,试说明：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），
∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
例题讲解
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等
合作探究
60°
45°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
探究新知
两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.求说明：△ABC≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例题讲解
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
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2
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
探究新知
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则
△ABC ≌△DEF的理由是：
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则
△ABC ≌△DEF的理由是：
A
B
C
D
E
F
角边角（ASA）
角角边（AAS）
课堂练习
3.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，
求证：AC=AD.
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D = ∠C （已知）
AB=AB（公共边）
所以△ABD≌△ABC （AAS）
所以AC=AD （全等三角形对应边相等）
证明：
1
2
课堂练习
4.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.
求证：BD=CE.
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
所以△ADC≌△AEB（ASA）
所以AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又因为AB=AC（已知）,
所以BD=CE.
课堂练习
5.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC；
解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
课堂练习
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
解：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
课堂练习
6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
课堂练习
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
全等三角形对应边上的高也相等.
课堂练习
边角边
角角边
内容
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
课堂小结
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