椭圆及其标准方程简案
教学目标:（1）理解椭圆的定义及其标准方程
(2）掌握椭圆标准方程的推导
（3）熟悉求曲线方程的一般方法.
（4）理解坐标法的基本思想;
教学重点：（1）椭圆的定义及标准方程
（2） 椭圆方程的推导
教学难点：椭圆标准方程的推导和化简
教学过程：
●引入新课
1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1) B(x2,y2)则:|AB|=
2.圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？
3.如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点,动点到定点距离的定长变成动点到两定点的距离之和为定长.那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？
4.动手作图
工 具：纸板、细绳、图钉
作 法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线( 动画演示)
●讲授新课
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a
注：定义中对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2| (2a>2c,a>c>0)
注: 这样规定是为了避免出现轨迹为一条线段或无任何轨迹两种特殊情况，这一点非常重要。
2.椭圆标准方程的推导
由圆的方程的推导过程知：用坐标法四个步骤即可得出。同理，椭圆标准方程的推导也由这四个步骤得到：建系---设点----列式----化简。
3.椭圆标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上。
变式练习题（一）
变式练习题（二）
4.例题讲析
例1.填空：
(1)已知椭圆的方程为 , 则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
(2)已知椭圆的方程为： ,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________
例2.已知a＝4，b＝3，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程．
●课堂小结
根据所学知识完成下表
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定义
a,b,c的关系
焦点位置的判断
●作业：课后习题2.2 A组 1、2
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2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？
1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1) B(x2,y2)则:|AB|=
在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。
3.如果将圆的定义中的一个定点变成两个定 点,动点到定点距离的定长变成动点到两定点的距离之和为定长.那么，将会形成什么样 的轨迹曲线呢？
4.动手作图
工 具： 纸板、细绳、图钉
作 法： 用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线
动画演示
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a
注：定义中对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2| (2a>2c,a>c>0)
注:这样规定是为了避免出现轨迹为一条线段或无任
何轨迹两种特殊情况，这一点非常重要。
F1
F2
M
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 |
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
方程:
是椭圆的标准方程．
x
y
O
F1
F2
P
焦点为：
F1( -c , 0 )、F2( c , 0 )
若以F1，F2所在的直线为y轴，
线段 F1F2的垂直平分线为x 轴建立
直角坐标系，推导出的方程又是怎
样的呢？
方程:
也是椭圆的标准方程．
焦点为：
F1( 0 , -c )、F2( 0 , c )
注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦
点的中点为坐标原点.
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
O
X
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
3、椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上。
则a＝ ，b＝ ；
则a＝ ，b＝ ；
则a＝ ，b＝ ；
则a＝ ，b＝ ．
5
3
4
6
3
2
变式练习题（一）
变式练习题（二）：判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标
答：在 X 轴上,（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴上,（0，-5）和（0，5）
答：在y 轴上,（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
例1、填空：
(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
4、例题讲析
(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________
2
1
(0,-1)、(0,1)
2
x
y
F1
F2
P
O
例2：已知a＝4，b＝3，求焦点分别在x、y轴上
的椭圆的标准方程．
解：
当焦点在 x 轴上的标准方程为
当焦点在 y 轴上的标准方程为
4、例题讲析
变式练习题（三）
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为____________
（2）满足a=4,c= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为____________
求椭圆的标准方程需求几个量？
答：两个；a、b 或 a、c 或 b、c；且满足 a2 = b2 + c2．
“椭圆的标准方程”是个专有名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的．
例3：已知椭圆的焦点坐标是F1(- 4,0)，F2(4,0)，
椭圆上的任意一点到F1，F2的距离之和是
10，求椭圆的标准方程．
解：
根据题意有
焦点在 x 轴上，
且 c = 4，2a = 10
故椭圆的标准方程是
4、例题讲析
课堂小结
Ax2+By2=C中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？
答：当A、B、C 同号，且 A不等于B 时表示椭圆．
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
根据所学知识完成下表
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
课后习题2.2
p49 1、2
y
x
O
r
设圆上任意一点P(x，y)
以圆心O为原点，建立直角坐标系
两边平方，得
1.建系
2.设点
3.列式
坐标法
4.化简
