4.3.1公式法（1） 课件（共27张PPT）

4.3.1公式法（1）
第四章
因式分解
2021年春北师大版八年级数学下册
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化
思想．（重点）
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解．（难点）
学习目标
1.分解因式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2.分解因式和整式乘法关系
3.分解因式的方法
提公因式法
互逆过程
步骤：一看系数　
二看字母　
三看指数
关键：确定公因式
相同字母或多项式
最大公约数
最低次幂
新课导入
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
探究新知
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
(
)2-(
)2的形式.
√
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
探究新知
分解因式
和的形式
积的形式
公式法—平方差公式
特
点
两数的和与差的积
有两项是平方项，且符号异号
①左边：
②右边：
2
2
首－尾
＝(首＋尾)(首－尾)
形象地表示为：
概念学习
★
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.
例1
分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2
-
b2
=
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
例题讲解
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
探究新知
例2
分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1).
例题讲解
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
探究新知
例3
已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
例题讲解
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
探究新知
例4
计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例题讲解
例5
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
例题讲解
用平方差公式法分解因式
知识总结
★多项式特点：有两项是平方项，且符号异号
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
第一步，找出a、b,将两项写成平方的形式；
第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.
1.判断正误：
(1)
x2＋y2＝(x＋y)(x＋y)；
(
)
(2)
x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
(
)
(3)
－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；
(
)
(4)
－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)；
(
)
×
√
×
×
a2和b2的符号相反
针对练习
2.下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？
(1)
m2
-
81
(2)
1
-
16b2
(3)
4m2+9
(4)
a2x2
-
25y
2
(5)
-x2
-25y2
(6)
-x2
+
16y2
√
×
√
√
×
√
有两项是平方项，符号异号
针对练习
3.下列各式中，可用平方差公式分解因式的有(　　)
①－a2－b2；
②16x2－9y2；
③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；
⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
B
针对练习
4.把下列各式因式分解：
(1)
a2b2－m2；
(2)
(m－a)2－(n＋b)2；
(3)
x2－(a＋b－c)2；
(4)
－16x4＋81y4.
针对练习
(3)x2－(a＋b－c)2＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]
＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)．
(4)方法一：－16x4＋81y4＝－(16x4－81y4)
＝－(4x2＋9y2)(4x2－9y2)
＝－(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2)
(9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)．
(2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a)
－(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
解：
5.分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
针对练习
6.分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4；
(2)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
针对练习
7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
针对练习
8.
(1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)∵
992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∵n为整数
∴(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
∴992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3)
×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
针对练方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
针对小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php