6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解平面基本定理的应用
②、掌握平面向量坐标运算
③、理解向量共线、垂直的坐标表示的应用
一、平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使，=.
若，不共线，我们把（，）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
二、平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.如图6.3-7，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解就是向量分解中常见而实用的一种情形.
三、平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
如图6.3-12，作向量,,则
=-
=
=.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
四、平面向量数乘运算的坐标表示
已知，即
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
五、平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若=,则=+，或=.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么
平面向量垂直的坐标表示
设=，=，则
1.已知
的内角
所对的边分别为
，若向量
，
，且
（1）求角
（2）若
，求角
【答案】
（1）解：∵向量
，
，且
，
∴
,
∵
，∴
,
∵
,∴
（2）解：在
中，
，
，由正弦定理得：
，
∴
∵
,∴
,∴
或
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】（1）利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标运算，进而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值
（2）利用已知条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
2.如图，在
中，
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设点
在以
为圆心，
为半径的圆弧
上运动，且
，其中
.
求
的最大值.
【答案】
解：（Ⅰ）
.
（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
.
设
，
，
由
，
得
.
所以
.
所以
，
，
?
，
因为
，
.
所以，当
，即
时，
的最大值为
.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，平面向量数量积的运算
【解析】
（I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算．
（II）根据模长列出方程，利用基本不等式解出最大值．
3.已知|
|=2，|
|=3，(2
3
)?(2
)=﹣7.
（1）求|
|；
（2）求向量
与
的夹角的余弦值.
【答案】
（1）解：∵已知|
|=2，|
|=3，(2
)?(2
)=4
?
16﹣4
?
27=﹣7，
∴
?
1.
∴|
|
.
（2）解：设向量
与
的夹角为θ，则cosθ
.
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算
【解析】(1)根据题意由向量的运算性质结合数量积公式计算出结果即可。
(2)由数量积的运算公式代入数值计算出
cosθ
的值即可。
4.已知向量
，
，且
．
（1）求向量
与
的夹角；
（2）求
的值．
【答案】
（1）解：由题意
，
，∴
，
∴
，
，∴
（2）解：
，
∴
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】(1)根据题意由数量积的运算性质代入数值计算出夹角的余弦值，由此即可求出夹角的大小。
(2)根据题意向量模的定义结合向量的运算性质整理即可得出答案。
1.已知向量
，
，且
，则
（??
?）
A.?-4???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?7
2.已知向量
，
满足
，
，
，则
（???
）．
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.向量
，
，
，若
，则实数
等于（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
4.平面向量
与
的夹角为60°，
＝(2，0)，|
|＝1，则
等于（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?2
????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?12
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
因为
，
所以
，
所以
。
2.【答案】
A
【解析】
由
又
，
，
所以
3.【答案】
B
【解析】
由已知可得
，
，所以，
，解得
.
4.【答案】
B
【解析】
因为
所以
所以