7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解复数的四则运算
②、掌握复数四则运算的应用
③、理解复数运算中的常用结论
一、复数的加、减法法则
设=，=是任意两个复数，
那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
1、复数的加法运算律
对任意，，∈C,有
（1）交换律：+=+
（2）结合律：（+）+=+（+）
2、复数的减法法则
设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.
二、复数的乘、除法法则
设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）
1、复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
2、复数的运算的常用结论
（1）（1+i）（1-i）=2；；；；
=0（N∈）.
（2）
1.设复数
.
（1）求z的共轭复数
；
（2）设
，
，求
的值.
【答案】
（1）解：因为
；
所以
；
（2）解：因为
，
所以
，解得
或
.
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】
（1）利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念求得
?
；
（2）把（1）中化简得到的z代入z+ai，利用复数模的公式列式求解a的值．
2.设
是虚数，
是实数，且
.
（1）求
的值以及
的实部的取值范围；
（2）若
，求证
为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求
的最小值.
【答案】
（1）解：由
是虚数，设
，则
，
因为
为实数，所以
且
，所以
所以
，
此时
，
因为
，所以
，得
（2）解：因为
，且
，
所以
，
因为
，
，所以
为纯虚数
（3）解：
，
由
，得
，
故当且仅当
，即
时，
有最小值1
【考点】基本不等式，复数代数形式的混合运算
【解析】（1）设出复数
，写出
的表示式，进行复数的运算，把
整理成最简形式，再根据所给
的范围，得到
的虚部为0，实部属于这个范围，得到
的实部的范围；（2）根据设出的
，整理
的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到
是一个纯虚数；（3）
，再利用基本不等式即可求得结果。
3.已知复数
，
，
．
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）若
是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若
在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
【答案】
解：（Ⅰ）由题意
；
（Ⅱ）由题意
为纯虚数，则
，所以
；
（Ⅲ）
，对应点
，它是第二象限点，则
，解得
．故
的范围是
．
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】
（Ⅰ）
根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ）
由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ）
由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
4.设
为复数
的共轭复数，满足
．
（1）若
为纯虚数，求
；
（2）若
为实数，求
．
【答案】
（1）解：设
，
，则
，
因为
，则
，即
，
所以
，所以
.
（2）解：设
，
，则
，
因为
，则
，即
．
＝
．
因为
为实数，所以
.
因为
，所以
，
所以
.
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】(1)首先根据题意求出共轭复数
，
结合复数的模的定义结合已知条件即可求出从而得出复数z。
(2)根据题意由已知条件整理得出结合题意即可得到由此求出
，
再结合复数模的公式计算出结果即可。
1.设复数
满足
，则
的最大值为
（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?3
2.
，
是锐角三角形
的两个内角，则复数
对应的点位于（??
?）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.复数
（?
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4已知i为虚数单位，且复数
，则复数z的共轭复数为（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
参考答案
1【答案】
B
【解析】
设
，
，
，
相当于圆
上的点到原点距离的最大值，
即圆心到原点距离加半径：
.
2.【答案】
D
【解析】
，
是锐角三角形
的两个内角，则
，则
，
，
，
故
，即
，
故
，即
，
故
对应的点位于第四象限.
3.【答案】
B
【解析】
4.【答案】
D
【解析】
因为
，所以
，则
，
因此复数z的共轭复数为
。