7.3复数的三角表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解复数的三角表示式
②、掌握复数相等的充要条件
③、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、复数的三角表示式
记向量的模==r,由图7.3-1可以得到，
所以，=rcos=r（cos+sin），
其中
r=，
cos=，
sin=.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z.
（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为
r=（cos+icos）的形式
其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，,,=π,=
二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
1、复数除法运算的三角表示
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
所以根据复数除法的定义，有，
[cos(-)+isin(-]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.
（1）请写出梯形数的通项公式
（不要求证明），并求数列
的前
项和
;
（2）若
，数列
的前
项和记为
，求证：
.
【答案】
（1）解：根据观察可归纳得：
，
进一步：
（2）解：易知
，
，
则
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，归纳推理，反证法与放缩法
【解析】(1)利用归纳推理的方法归纳得到梯形数的通项公式，再利用分类讨论的方法借助等差数列前n项和公式求出数列前n项的和。
（2）利用数列的前n项和公式求出数列的通项公式，再利用放缩法借助裂项相消求数列的和的方法证出不等式成立。
2.已知复数
z1=a-2i
，
（
，i为虚数单位）.
（1）若
是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数
在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）解：依据
根据题意
是纯虚数，
，
；
（2）解：根据题意
在复平面上对应的点在第四象限，可得
，
所以，实数a的取值范围为
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】(1)由纯虚数概念明确实数
的值；(2)
点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
3已知复数
．
（1）若
为实数，求实数
的值；
（2）若
为纯虚数，求实数
的值；
（3）若
在复平面上对应的点在直线
上，求实数
的值．
【答案】
（1）解：若
为实数，则
，
（2）解：若z为纯虚数，则
，
解得实数a的值为2；
（3）解：
在复平面上对应的点
，
在直线
上，则
，即
解得
．
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】（1）由?
为实数则虚部为0列式，即可求出实数??的值；
（2）由?
为纯虚数则实部为0且虚部不为0列式，即可求出实数??的值；
（3）由?
在复平面上对应的点
，满足直线的方程代入列出方程，即可求出实数??的值；
4.已知复数
.
（1）当实数m取什么值时，复数z是1；
（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】
（1）解：
.
当
即
时，z为1.
（2）解：当
，即
或
时，
为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】（1）根据实部为1，虚部为零可求m的值；（2）根据实部和虚部相等可求
的值.
1.任何一个复数
（其中
，i为虚数单位）都可以表示成
（其中
，
）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“
为偶数”是“复数
为纯虚数的是（???
）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
2.在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；④已知复数
满足
，则
在复平面内所对应的点位于第四象限.其中说法正确的个数为（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.欧拉公式
把自然对数的底数
，虚数单位
，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数
，则
（???
）.
A.????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.欧拉公式
（
为虚数单位，
，
为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，
表示的复数在复平面中位于（??
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
为纯虚数，故
且
，
故
，
，故
为偶数是
，
的必要不充分条件.
2.【答案】
C
【解析】
对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确；
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由
，得
，所以，复数
在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
因此，正确的命题为①③④.
3.【答案】
C
【解析】
解：由题意得，
，
所以
，
4.【答案】
B
【解析】
e2018i＝cos2018+isin2018，
∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈
，
∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＜0．
sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，
∴e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限．