8.1基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解简单几何体的结构特征
②、掌握简单几何体与求的综合问题
③、理解空间几何体
一、基本立体图形
1棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这
些面所围成的几何体叫做棱柱.如图1.1-2
在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公
共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱锥的结构特征
如图1.1-3
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥
.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
3.圆柱的结构特征
如图1.1-4
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面
叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
4.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图1.1-5
圆锥也有轴、底面、侧面和母线.
5.棱台于圆台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台(如图1.1-6).在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
用一个平行于圆锥底面的平面曲截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体
(如图1.1-7)叫做圆台.
6.球的结构
如图1.1-8，以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.
1.长方体
的底面
是边长为1的正方形，其外接球的表面积为
.
（1）求该长方体的表面积；
（2）求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】
（1）解：设外接球的半径为
，则
，解得
.
设
，则
，解得
，
所以该长方体的表面积为
.
（2）解：连接
，
，因为
，所以
是异面直线
与
所成的角或补角.
又
，
，
，
所以在
中，
.
即异面直线
与
所成角的余弦值为
.
【考点】棱柱的结构特征，异面直线及其所成的角
【解析】（1）由
外接球的表面积
可求出
外接球的半径
，即
长方体的
对角线，由此求出长方体的高，即可求出
长方体的表面积
。
（2）
连接??
，
??
，
因为??
，
所以??是异面直线??与??所成的角或补角.
利用余弦定理即可求出
异面直线??与??所成角的余弦值
。
2.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；
（2）假设球半径
．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
【答案】
（1）解：设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为
圆柱的体积
球的体积
圆柱与球的体积比为：
（2）解：由题意可知：圆锥底面半径为
，高为
圆锥的母线长：
圆锥体积：
.
圆锥表面积：
.
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.
3.若一圆锥的底面半径为4，体积是
.
（1）求该圆锥的母线长；
（2）已知该圆锥的顶点为O，并且
、
为圆锥的两个母线，求线段
长度为何值时，△
的面积取得最大值？
【答案】
（1）解：因为圆锥的底面半径为4，体积是
，所以
因此母线长为
；
（2）解：△
的面积
因为
，所以当
时，△
的面积取最大值，此时
【考点】棱锥的结构特征
【解析】（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；（2）先确定△
的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求
长度.
4.已知如图，长方体
中，
，
，点
，
，
分别为
，
，
?的中点，过点
的平面
与平面
平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.
（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；
（2）求证：
平面
.
【答案】
（1）解：设N为
的中点，连结MN，AN、AC、CM，
则四边形MNAC为所作图形；
易知MN
（或
），四边形
为梯形，
且
，
过M作MP⊥AC于点P，可得
，
，得
?
所以梯形
的面积=
；
（2）解：证法1：在长方体中
，设
交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为
的四等点，如图，
由
得
，又
，
，
平面
，则
，
?且
，则
?
，
，
平面
证法2：设
交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为
的四等分点，
由
可知
，
又
，
，
平面
，
?
由
得
，
得
，
，
，又
，
平面
【考点】棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定
【解析】（1）利用长方体的结构特征结合已知条件在图中画出这个几何图形，并利用梯形的面积求出这个几何图形的面积。
（2）利用长方体的结构特征结合已知条件，用线线垂直证出线面垂直。
1.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic
solids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数
棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（???
）
A.?30?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?10
2.已知正方体
的棱长为2，
，
中点分别为
，
，若过
的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
3.下列说法正确的是（???
）
A.?通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B.?直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C.?圆柱的上底面下底面互相平行
D.?五棱锥只有五条棱
4.下列说法正确的是（???
）
A.?侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B.?棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.?棱柱中各条棱长都相等
D.?棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
解：因为每个面是三角形，每1个面对应3条棱，又每1条棱被2个三角形共用，即1个面对应
条棱，所以共有
条棱，
所以由：顶点数
棱数+面数=2，得顶点数等于棱数+2
面数，
即顶点数为
，
2.【答案】
A
【解析】
将面
展开与面
处于同一平面要使
最大,则沿面
切才能保证五点共面，在
中,
,此时
,又
，
该五边形周长的最大值为
。
3.【答案】
C
【解析】
A中，根据圆台的结构特征，通过圆台侧面上一点有且只有一条母线，所以不正确；
B中，根据圆锥的定义，直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，所以不正确；
C中，根据圆柱的结构特征，可知圆柱的上底面下底面互相平行，所以是正确的；
D中，根据棱锥的结构特征，可得五棱锥只有五条侧棱，所以不正确.
4.【答案】
A
【解析】
A显然正确；
棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，
例如正六棱柱的相对侧面，故B错误；
棱柱的每条侧棱长相等，而不是各条棱长都相等，故C错误；
棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D错误.