8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

1、会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
2、会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图
3、会根据斜二测画法规则进行相关运算
1、直观图
定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
画法：斜二测画法和正等测画法.
2、斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
给出斜二测具体步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的X轴Y轴，两轴相交于O，画直观图时，把他们画成对应的X'轴与Y'轴，两轴交于O'。且使∠X'O'Y'=45°（或135°）。他们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X'轴或y'轴的线段。
（3）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于Y轴的线段，在直观图中长度为原来一半。
1.如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．
（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（2）求这个几何体的表面积及体积．
【答案】
（1）解：这个几何体的直观图如图所示．
（2）解：这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．
由PA1=PD1=
，A1D1=AD=2，
可得PA1⊥PD1
．
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×
2×1+2×
×2
=22+4
（cm2），
所求几何体的体积V=23+
×（
）2×2=10（cm3）．
【考点】由三视图求面积、体积，空间几何体的直观图
【解析】（1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可．（2）几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可．
2.用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
【答案】
【解答】解：在原图形中作BF⊥x轴，EG⊥x轴，垂足分别为F、G，
1、作坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
2、在x′轴上取点C′，D′，F′，G′使O′C′=OC，O′D′=OD，O′F′=OF，O′G′=OG；
3、在y′轴上取点A′，使O′A′=OA，作F′B′∥y′，使F′B′=FB，作G′E′∥y′，使G′E′=GE；
4、连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，得五边形ABCDE的直观图．
（正五边形的直观图的形状如下图所示）
【考点】斜二测法画直观图
【解析】在原图形中建立平面直角坐标系，作BF⊥x轴于F，EG⊥y轴于G，利用斜二测画法画出直观图．
3.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E,F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（2）（II）求平面
把该长方体分成的两部分体积的比值.
【答案】
（1）交线围成的正方形EHGF
如图:
（2）或
【考点】组合几何体的面积、体积问题，空间几何体的直观图
【解析】【解答】
（II）作EMAB,垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8，因为EHGF是正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH=
，
AH=10，HB=6，因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为（也正确）。
【分析】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于得分题，往年第一问多为线位置关系得证明，今年试题有所创新，改为作截面图，令人耳目一新。第二问求两几何体体积之比，方法容易想到，注意运算不要出现错误
4.如图是某几何体的三视图．试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．
【答案】
解：根据几何体的三视图，得，
该几何体是上部为正六棱柱，下部为正六棱锥的组合体；
画出该几何体的直观图，如图所示；
【考点】空间几何体的直观图
【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是上部为正六棱柱，下部为正六棱锥的组合体；
画出它的直观图即可．
1.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为
，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2设
、
、…、
为平面
内的
个点，在平面
内的所有点中，若点
到
、
、…、
点的距离之和最小，则称点
为
、
、…、
点的一个“中位点”，有下列命题：①
、
、
三个点共线，
在线段
上，则
是
、
、
的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点
、
、
、
共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（?????????
）
A.?②④????????????????????????????????????B.?①②????????????????????????????????????C.?①④????????????????????????????????????D.?①③④
3.已知梯形
是直角梯形，
，
，且
，
，
.按照斜二测画法作出它的直观图
，则直观图
面积为(??
)
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.如图，已知
的直观图
是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么
的面积是（????
）
??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
正四棱锥的底面为正方形，设其外接圆半径为
，则底面正边形的边长为
，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为
，
设侧棱长为
，则有
，
解得
，
所以侧棱与底面外接圆半径的比为
.
2.【答案】
C
【解析】
①若三个点
共线,
在线段
上,根据两点之间线段最短,
则
是
的中位点,正确；②举一个反例,如边长为
的直角三角形
,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为
,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,
∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点
共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图,在梯形
中,对角线的交点
是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得
,
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．
故①④正确.
3.【答案】
D
【解析】
梯形
的面积为
，则直观图
的面积为
.
4.【答案】
D
【解析】
平面直观图
与其原图形如图，
直观图
是直角边长为
的等腰直角三角形，
还原回原图形后，边
还原为
长度不变，仍为
，
直观图中的
在原图形中还原为
长度，且长度为
，
所以原图形的面积为
，