8.3简单几何的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解空间几何体的表面积、侧面积
②、掌握空间几何体的体积
③、理解空间几何的应用与运算
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱台：台体的上、下底面面积分别为，,高为h，则
二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
1、表面积
圆柱表面积：（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：=（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长）
4.球的表面积：
2、体积
（1）圆柱体积：（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：（分别是上、下底面半径，是高）
（4）球的体积：
1.如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别是
和
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积与三棱柱
体积的比值．
【答案】
解：（Ⅰ）取
的中点为
，连结
、
，
平面
，
平面
，
.
，
，
，
平面
，
，
；
四边形
为平行四边形，
，
平面
.
（Ⅱ）由题可得
，
三棱锥
的体积为
乘以底面积乘高，所以
.
直三棱柱的体积为底面积乘以高，所以
.
所以三棱锥
的体积与三棱柱
体积的比值为
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】
（Ⅰ）
首先作出辅助线再由中点的性质即可得出线线平行，再由平行性质的传递性结合已知条件即可得出结论。
（Ⅱ）
根据题意由三棱锥的体积公式代入数据计算出即可得出结论。
2将棱长为2的正方体
沿平面
截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点
，
分别是
，
的中点.
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
【答案】
解：（Ⅰ）如图所示：
连接
，易知
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
，
所以
平面
.
在
中，点
，
分别是
，
的中点，
所以
.
所以
平面
.
（Ⅱ）∵
平面
，
∴
是三棱锥
在平面
上的高，且
.
∵点
，
分别是
，
的中点，
∴
.
∴
.
∴
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】（1）连接
，易知
，因为
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，
所以
，
再利用线线垂直证出线面垂直，
所以
平面
，
在
中，点
，
分别是
，
的中点，
再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而证出线线平行，所以
，所以
平面
。
（2)∵
平面
，∴
是三棱锥
在平面
上的高，且
,
∵点
，
分别是
，
的中点，∴
,再利用三角型面积公式求出
的值，再结合三棱锥体积公式，进而求出三棱锥
的体积。
?
3.如图，已知
平面
，
与平面
所成角为
，且
（1）求三棱锥
的体积；
（2）设
为
的中点，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
【答案】
（1）解：如图所示，因为
平面
，
所以
，又
，所以
平面
，
因为
平面
，
与平面
所成角为
，故
,
又由
，可得
,
所以
,
所以
.
（2）解：以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
作平面
的垂线，建立空间直角坐标系，则
，
可得
，
设异面直线
与
所成角为
，则
,
所以异面直线
与
所成角为
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义，证出线线垂直，即
，
又
，
再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，
因为
平面
，
与平面
所成角为
，故
,
再利用已知条件结合勾股定理，从而求出CD的长，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥
的体积。
（2）利用已知条件得出以
为原点，
为
轴，
为
轴，过
作平面
的垂线，建立空间直角坐标系，
从而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线
与
所成角的余弦值，再结合反三角函数值求角的方法，从而求出异面直线
与
所成角的大小。
4.如图，三棱锥
中，
平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
为
中点，求三棱锥
的体积.
【答案】
（1）证明：∵
平面BCD，
平面BCD，
∴
.
又∵
，
，
平面ABD，
平面ABD，
∴
平面
（2）解：由
平面BCD，得
.
∵
，∴
.
∵M是AD的中点，
∴
.
由（1）知，
平面ABD，
∴三棱锥C-ABM的高
，
因此三棱锥
的体积
.
解法二：
⑴同解法一.
⑵由
平面BCD知，平面ABD
平面BCD，
又平面ABD
平面BCD=BD，
如图，过点M作
交BD于点N.
则
平面BCD，且
，
又
，
∴
.
∴三棱锥
的体积
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】（1）由
平面BCD，
平面BCD，得到
.进一步即得
平面
.（2）思路一：由
平面BCD，得
.确定
.根据
平面ABD，知三棱锥C-ABM的高
，得到三棱锥
的体积
.思路二：由
平面BCD知，平面ABD
平面BCD，根据平面ABD
平面BCD=BD，通过过点M作
交BD于点N.得到
平面BCD，且
，利用
计算三棱锥
的体积.
1.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为
，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.在棱长为2的正方体
中，平面
，则以平面
截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以
为顶点的锥体的外接球的表面积为（???
）
A.?12π?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?6π
3.在长方体
中，
，
，点
为
的中点，若三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为（???
）
A.?22π?????????????????????????????????????B.?26π?????????????????????????????????????C.?24π?????????????????????????????????????D.?28π
4.直三棱柱
的所有顶点都在同一球面上，且
，
，
，则该球的表面积为（???
）
A.?40π??????????????????????????????????????B.?21π??????????????????????????????????????C.?10π??????????????????????????????????????D.?8π
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
塔顶是正四棱锥
，如图，
是正四棱锥的高，
设底面边长为
，底面积为
，
，
，∴
，
是正三角形，面积为
，
所以
。
2.【答案】
B
【解析】
解：如图，
由正方体的对称性，可知当截面为正六边形
时，截面面积最大，
此时正六边形的边长为
，
设
交截面
于
，则
为
的中点，所以
，
设正六棱锥外接球的球心为
，外接球半径为
，
当球心在棱锥内部时，有
，解得
，
外接球面积为
；
若球心在棱锥外部时，有
，解得
（舍去）．
∴以
为顶点的锥体的外接球的表面积为
．
3.【答案】
D
【解析】
如图所示：
在长方体
中，因为
，点
为
的中点，
所以
,
又因为
，
所以
，
，
又
，所以
为正三角形，
设
的中心为
，
过
作
，
，
，
，
过
作直线l垂直于平面
，
则球心O必在直线l上，过球心O作
，
又因为
平面
，
故
是矩形，且
，
设
，则
，
则
，解得
，
所以
，
所以其外接球的表面积是
，
4.【答案】
A
【解析】
解：如图所示，
直三棱柱
的所有顶点都在同一球面上，且
，
，
，
可将直三棱柱
补成长方体，其中
，
，长方体的对角线
，即为球的直径，则球的半径
为
.
球的表面积为
.