8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解三点共线、及点、线共面的证明方法
②、掌握平面的基本性质
③、理解空间直线、平面的位置关系
一、平面
平面的概念
三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
3.三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
二、空间点、直线、平面之间的位置关系
空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
1.如图，在长方体
中，点E，F分别在棱
，
上，且
，
．证明：
（1）当
时，
；
（2）点
在平面
内．
【答案】
（1）解：因为长方体
,所以
平面
,
因为长方体
,所以四边形
为正方形
因为
平面
,因此
平面
,
因为
平面
,所以
（2）解：在
上取点M使得
,连
,
因为
,所以
所以四边形
为平行四边形，
因为
所以四边形
为平行四边形，
因此
在平面
内
【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定
【解析】（1）根据正方形性质得
，根据长方体性质得
,进而可证
平面
,即得结果；（2）只需证明
即可，在
上取点M使得
,再通过平行四边形性质进行证明即可.
2.在正方体
ABCD-A1B1C1D1
中，E、F分别是
、
的中点，
（1）证明点E、F、C、
D1
共面
（2）证明
、
、
三线交于一点
【答案】
（1）解：连接
，根据正方体的几何性质可知
.由于
分别是
的中点，所以
，所以
，所以
四点共面.
（2）解：由于
，所以
与
延长后必相交，设交点为
，由于
平面
，
平面
，根据公理3可知，
在平面
与平面
的交线
上，所以
、
、
三线交于一点
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】（1）通过证明
，证得
四点共面.（2）根据公理
，证得
、
、
三线交于一点.
3.完成下列各题：将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（1）将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（2）将下列符号语言转换为图形语言．
①a?α
，
b∩α＝A
，
A?a；
②α∩β＝c
，
a?α
，
b?β
，
a∥c
，
b∩c＝P.
【答案】
（1）解：①A∈α，A?β.
②M∈a，M?α.
③α∩β＝l.
（2）解：①
②
【考点】平面的概念、画法及表示
【解析】（1）利用点、线、面之间的关系，即可得出结论。
4.已知四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
，
，点
是棱
的中点，点
在棱
上，且
，
//平面
．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积．
.【答案】
解：（Ⅰ）连接
，设
，则平面
平面
，
//平面
，
//
∽
，
，
，
．（Ⅱ）
，又
，
，
，
平面
，所以
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】（1）做好辅助线，利用平面与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，再确定直线与直线的位置关系，进而得到λ的值。
（2）由上题可知F?BCE与S-BCE的关系，再根据和菱形ABCD的面积关系，得到F?BCE和S-ABCD的面积关系，最后只需求S-ABCD的面积即可。
1.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（???
）
A.?若m//α，n
α，则m//n????????????????????????????????B.?若m//α，m⊥n，则n⊥α
C.?若m⊥α，m⊥n，则n//α???????????????????????????????????D.?若m⊥α，n//α，则m⊥n
2.在空间中，设
，
为两条不同直线，
，
为两个不同平面，则下列命题正确的是（??
）
A.?若
且
，则
?????????????????????B.?若
，
，
，则
C.?若
且
，则
?????????????????????D.?若
不垂直于
，且
，则
必不垂直于
3.若
，则l与a的位置关系一定是（???
）
A.?平行???????????????????????????????B.?相交???????????????????????????????C.?异面???????????????????????????????D.?l与a没有公共点
4.已知m，n是空间中两条不同的直线，
，
为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（???
）
A.?若
，则
?????????????????????????????????????????B.?若
，
，则
C.?若
，
，则
?????????????????????????D.?若
，
，则
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
对于A，若m//α，n
α，则m//n或
异面，A不符合题意；
对于B，若m//α，m⊥n，则
与
相交、平行或
在
内，B不符合题意；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或
在
内，C不符合题意；
对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，D符合题意.
2【答案】
C
【解析】
解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：
在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m?β，A不符合题意；
在B中，若α⊥β，m?α，n?β，则m与n相交、平行或异面，B不符合题意；
在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，C符合题意；
在D中，若m不垂直于α，且n?α，则m有可能垂直于n，D不符合题意．
3.【答案】
D
【解析】
因为
所以直线
与平面
无公共点，又
，所以l与a没有公共点.
4.【答案】
C
【解析】
对于A，直线m与平面
可能垂直，也可能平行或m在平面
内，A不正确；
对于B，直线m与n平行、异面或相交，B不正确；
对于C，
，则
或
，又
，所以
，C符合题意；
对于D，缺少条件
，D不正确；