8.5空间直线、平面的平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案

①、了解直线与平面平行的证明方法
②、掌握平面与平面平行的证明方法
③、理解平行公理与空间等角定理
一、直线与直线平行
1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
二、直线与平面平行
1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：
2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：
三、平面与平面平行
1、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：
2、性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：
1.如图，在四棱锥
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
，
，
，
，
是棱
上的动点（除端点外），
，
分别为
，
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若直线
与平面
所成的最大角为
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】
（1）证明：取
的中点
，连结
，
，
因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
同理，
平面
，
又因为
，
所以平面
平面
，
又因为
平面
，
所以
平面
（2）解：因为平面
平面
，
，
所以
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成的角，
且
，
当
最小，即
为
中点时，
，
此时
最大为
，
又因为
，
所以
，所以
．
取
的中点
，连结
，
，
易知
平面
，
因为
且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设
为平面
的法向量，
则
，
即
可取
．
设平面
的法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．
2.如图所示，直棱柱
中，四边形ABCD为菱形，点E是线段
的中点．
（1）求证：
平面BDE；
（2）求证：
．
【答案】
（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；
因为О，E分别为线段AC，
的中点，故
，
而
平面BDE，
平面BDE，故
平面
（2）证明：因为直棱柱
，故
平面ABCD，
又
平面ABCD，所以
．
因为ABCD是菱形，所以
．
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
因为
平面
，故
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定
【解析】（1）
连接AC交BD于点O，连接OE，
因为О，E分别为线段AC，
的中点，
所以利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出
平面BDE。
（2）
因为直棱柱
，故
平面ABCD，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
，再利用
ABCD是菱形，
结合菱形的性质，进而证出线线垂直，即
，再利用线线垂直证出线面垂直，即
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出
。
3.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
【答案】
（1）证明：因为
，
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（2）证明：因为
，
为
中点，所以
，
由（I）知，
，所以
平面
.
所以平面
平面
.
（3）解：因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
因为
为
的中点，所以
，
.
由（I）知，
平面
，所以
平面
.
所以三棱锥
的体积
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面垂直的判定
【解析】（1）
因为
，
，
再利用线面垂直的判定定理，从而推出线面垂直，即
平面
，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
PA⊥BD。
（2）
因为
，
为
中点，所以
，由（I）知，
，从而由线面垂直的判定定理，从而证出线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，从而证出面面垂直，即平面BDE⊥平面PAC。
（3）利用线面平行的性质定理证出线线平行，即
，因为
为
的中点，所以
，
，由（I）知，
平面
，所以
平面
，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥E－BCD的体积。
4.如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且
，
，将
所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．
（1）求证：平面
平面BCD；
（2）在线段AB上是否存在点F，使得
平面CEF？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明：∵AB是圆的直径，∴
．
∵
平面ABD，
平面ABD，∴
．
又∵
，
平面ABD，
∴
平面BCD．
∵
平面ACD，
∴平面
平面BCD．
（2）解：∵
平面ABD，
平面ABD，
∴
，
．
在
和
中，由
得
，
在
中，由
，得
，
∴
，
∴在
中，
，
∴E是BD的三等分点，且
．
在线段AB上存在点F，使得
，则有
．
∵
平面CEF，
平面CEF，
∴
平面CEF．
故在线段AB上存在点F，使得
平面CEF，此时
．
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】（1）要证平面??平面BCD，只要证平面
经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB为直径的圆上的点得到
，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明；
（2）在线段AB上存在点F，且
，
则
?平面CEF，利用平面几何的性质求得
，
即可得出结论。
1.若直线
与平面
不平行，且直线
也不在平面
内，则
（???
）
A.?
内不存在与
异面的直线?????????????????????????????????B.?
内存在与
平行的直线
C.?
内存在唯一的直线与
相交?????????????????????????????D.?
内存在无数条与
垂直的直线
2.已知m，n为两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
3.下列说法正确的是（???
）
A.?
B.?
C.?
D.?
4.设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出
∥
的是（???
）
A.?
∥
，
⊥
，
⊥
??????????????????????????????????B.?
⊥
，
⊥
，
∥
C.?
∥
，
∥
，
∥
????????????????????????????????????D.?
∥
，
∥
，
⊥
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
对于A，如下图长方体中，
内存在与
异面的直线
，错误；
对于B，如果
内存在与
平行的直线
，则
，由于
，
，
所以
，与已知直线
与平面
不平行矛盾，错误；
对于C，
如下图长方体中，
内直线
与
都相交，错误；
对于D，如下图，设
，在
内过A点做与
垂直的直线
，
内可以做无数条与直线
平行，且都与
垂直，正确.
2.【答案】
C
【解析】
A.
，则
也可在平面
内
B.
，则
也可在平面
内
C.
成立
两平行线
，
垂直于平面
，
必垂直于
两条相交直线，则由直线平行关系的传递性，
必定垂直于
内那两条相交直线，故
D.
，则
也可是异面直线的关系.
3.【答案】
C
【解析】
对A,若
或
，故错误；
对B，
或
或a与
斜交
，故错误；
对C，由线面垂直的性质定理可知，若
，
，则
，正确；
对D，
或a与
斜交
，故错误；
4.【答案】
B
【考点】直线与平面平行的判定
【解析】由
，
，
可推出
与
平行、相交或异面，由
可推出
∥
.