8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解求异面直线所形成的角的步骤
②、掌握直线与平面垂直的证明方法
③、理解平面与平面垂直的证明方法
一、直线与直线垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线，，把直线，所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的取值范围是
8.6.2直线与平面垂直
1.定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作
直线叫做平面的垂点，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足
2.点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
3.直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
4.直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
5.直线与平面、平面与平面之间的距离
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离
6.直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线
PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
7.直线与平面所成角的范围
(1）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
(2）直线与平面所成的角的取值范围是0°≤0≤90°
(3)斜线与平面所成的角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.
三、平面与平面垂直
1.二面角
如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
二面角的记法
棱为AB,面分别为的二面角记作二面角
在内（棱以外的半平面部分）分别取P,Q，将这个二面角记作二面角
(3)如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角
二面角的平面角
如图,在二面角的棱上任取一点O,
以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和
OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角的取值范围是
2.平面与平面垂直
平面与平面垂直的定义
定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作
(2)画法:如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直
平面与平面垂直的判定及性质
自然语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另
个平面的垂线,那么这
两个平面垂直
性质
定理
两个平面垂直,如果一
个平面内有一直线垂
直于这两个平面的交
线,那么这条直线与另
一个平面垂直
1.如图，在三棱锥
中，
，
．
（1）证明：
；
（2）有三个条件；
①
；
②直线
与平面
所成的角为
；
③二面角
的余弦值为
．
请你从中选择一个作为条件，求直线
与平面
所成的角的正弦值．
【答案】
（1）证明：取
中点
，连接
，则
，
又
，
．
，所以
，
所以
，所以
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
（2）解：在
上取点
，使得
，连接
，由于
与
是平面
内相交直线，所以
平面
，
以
为
轴建立空间直角坐标系，如图，
，
，因此
同理
，
选①，
，则
是等边三角形，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，即
，
记直线
与平面
（即平面
）所成的角为
，
则
．
选②，由
平面
得
是
（即
）与平面
所成的角，
所以
，
，
以下同选①；
选③，作
，垂足为
，连接
，
由
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，而
平面
，所以
，
所以
是二面角
即二面角
的平面角，
已知即为
，则
，
，
所以
，
以下同选①．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】（1）
取??中点?
，
连接?
，
证明
??平面?
，
根据线面垂直的性质定理可得
；
（2）分析图形
在??上取点?
，
使得?
，
以??为??轴建立空间直角坐标系
，用向量法求线面角的正弦值，不管选
①
②
③中哪一个，都推导出OM=OC，得出各点坐标，用向量法求解即可。
2.已知等腰直角
，
，点
，
分别为边
，
的中点，沿
将
折起，得到四棱锥
，平面
平面
.
（Ⅰ）过点
的平面
平面
，平面
与棱锥
的面相交，在图中画出交线；设平面
与棱
交于点
，写出
的值（不必说出画法和求值理由）；
（Ⅱ）求证：平面
平面
.
【答案】
解：过
作
交
于
，由
，
分别为边
，
的中点，即
，
∴
为平行四边形，则
为
的中点，再过
作
交
于
，
∴在△
中，
为中位线，即
为
的中点，所得平面
即为平面
，如下图示，
∴由上，知：
.
（Ⅱ）由题设知：
，
面
面
，面
面
，
，
面
，
面
，又
，
面
，
，
，又
，
，
，
三条棱两两互相垂直.
以
为原点，分别以射线
，
、
的方向为
，
，
轴正方向，建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
，平面
的法向量分别为
，
，
，即
，取
，则
，
，即
，取
，则
，
，
平面
平面
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质
【解析】
（1）根据题意即可得出AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比.
3.如图所示，
为
的直径，C为
上一点，
平面
，
于E，
于F.求证：
平面
.
【答案】
证明：
为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以
因为
平面
，
平面
，所以
又
,所以
面
又
平面
，则
又
，
，所以
平面
又
平面
，所以
又因为
，
所以
平面
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】运用线面垂直的判定定理和性质定理即可得证。
4.已知四棱锥
中底面
为菱形，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
．
【答案】
（1）证明：
四边形
是菱形，
,
又
平面
，
平面
，
平面
（2）证明：连接
交
于
，连接
.
四边形
为菱形，
且
，
又
，
又
，
平面
，
又
平面
，
.
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】（1）
四边形
是菱形，
,
再利用线线平行证出线面平行。
（2）
连接
交
于
，连接
，
四边形
为菱形，
且
，
，
又
，
再利用等腰三角形三线合一，
，
再利用线线垂直证出线面垂直，
平面
，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直。
?
1.如图，三棱锥
的底面
在平面
内，所有棱均相等，
是棱
的中点，若三棱锥
绕棱
旋转，设直线
与平面
所成的角为
，则
的取值范围为（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.设m，n是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，现有如下命题：
①若
，
，则
；②若
，
，
，则
；③若
，
，
，则
；则正确命题的个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
3.设
为两条直线，
为两个平面，下列四个命题中真命题是（???
）
A.?若
与
所成角相等，则
?????????????????????B.?若
，则
C.?若
，则
????????????????????
?D.?若
，则
4.在矩形ABCD中，
，
，沿矩形对角线BD将
折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当
时，
；②四面体ABCD的体积的最大值为
；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为
；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为(???
)
A.?①④??????????????????????????????????B.?①②??????????????????????????????????C.?①②④??????????????????????????????????D.?②③④
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
取
的中点
，连接
、
，如下图所示：
?
、
分别为
、
的中点，所以
，
设正四面体
的棱长为
，则
，
，
由余弦定理可得
，
当三棱锥
绕棱
旋转时，直线
与平面
所成的角为
，
让正四面体
相对静止，让平面
绕着直线
转动，则平面
的垂线也绕着
旋转，
设过直线
的平面
满足
，
，问题也等价于平面
绕着直线
旋转，
当
时，
取得最小值
，此时，
取得最大值
；
当
时，设点
到平面
的距离为
，可得
，
当
取最大值时，
取最大值，此时，平面
平面
，
由于
，取
的中点
，连接
，可得
，
平面
平面
，平面
，
平面
，
，
此时，
，所以，
的最小值为
，
综上所述，
的取值范围是
。
2.【答案】
D
【解析】
对于①，若
，
，由线面垂直的推论可得
，故①正确；
对于②，若
，
，则
，又
，所以
，故②正确；
对于③，设
与
的交点为
，过
与直线
的平面与
相交，交线是
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确.
所以①②③都正确，
3.【答案】
D
【解析】
对于A，如正三棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但侧棱不平行，A不符合题意；
对于B，若
，则
或
，B不符合题意；
对于C，如图，
，但
与
相交，C不符合题意；
对于D，若
，则
或
，又
，则
，D符合题意.
4【答案】
C
【解析】
如图，当
时，∵
，∴
平面
，
∵
平面
，∴
，即①正确；
当平面
平面
时，四面体ABCD的体积最大，最大值为
，即②正确；
当平面
平面
时，BC与平面ABD所成的角最大，为
，而
，
∴BC与平面ABD所成角一定小于
，即③错误；
在翻折的过程中，
和
始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，
∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.
故正确的有①②④.