9.3统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案

①、了解平均数、中位数、和众数的应用
②、掌握统计的实际应用
③、理解频率分布表与频率分布图
一、统计案例
公司员工的肥胖情况调查分析
背景与数据
近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
BMI=
中国成人的BMI数值标准为:BM1<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<23.9为正常;24≤?BMI<27.9为偏胖;BMI≥28为肥胖.
二、对方差、标准差的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
1.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；
（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=
，其中n=a+b+c+d）
【答案】
（1）解：设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，
．
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
?不胖
4
18
22
合计
10
20
30
（2）解：由已知数据可求得：
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关
（3）解：设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．
其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．共8种．
故抽出一男一女的概率是
【考点】独立性检验的应用，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，
．即可将上面的列联表补充完整；（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．
2.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名五年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500
以上为常喝，体重超过50
为肥胖.
?
不常喝
常喝
合计
肥胖
50
不肥胖
40
10
50
合计
A
B
100
现从这100名儿童中随机抽取1人，抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为
.
附：参考公式：
，其中
.
临界值表：
P(
)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）求2×2列联表中的数据
，
，A，B的值；
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由.
【答案】
（1）解：根据题意，不常喝碳酸饮料的学生为
，
∴
，
，
；
（2）解：有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关，理由如下：
由已知数据可求得：
，
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
【考点】独立性检验的应用
【解析】（1）利用实际问题中的已知条件求出并填写出2×2列联表中的数据
，
，A，B的值。
（2）利用（1）中的2×2列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。
3.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.
附
，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）完成下列
列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；
属于“追光族"
属于“观望者"
合计
女性员工
男性员工
合计
100
（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求
的分布列及数学期望.
【答案】
（1）解：由题意得，2×2列联表如下：
属于“追光族"
属于“观望者"
合计
女性员工
20
40
60
男性员工
20
20
40
合计
40
60
100
，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；
（2）解：由题意得，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
；
.
所以
的分布列为
X
0
1
2
3
P
【考点】独立性检验，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）根据题意，列出列联表，计算K2
，
查表判断即可；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．
4.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患.目前，国际上常用身体质量指数（英文为
，简称
）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
中国成人的
数值标准为：
为偏瘦；
为正常；
为偏胖；
为肥胖.某地区随机调查了6000名35岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：
参考公式：
，其中
.
参考数据：
0.25
0.10
0.050
0.010
0.001
1.323
2.706
3.841
6.635
10.828
（1）求被调查者中肥胖人群的
平均值
；
（2）根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？
肥胖
不肥胖
总计
高血压
非高血压
总计
【答案】
（1）解：由图可知，1000名高血压患者中：
，
，
，
人数
5000名非高血压患者中：
，
，
，
人数
被调查者中肥胖人群的
平均值
．
（2）解：由（1）及频率分布直方图知，1000名高血压患者中有
人肥胖，5000名非高血压患者中有
人肥胖，所以可得下列列表：
肥胖
不肥胖
总计
高血压
350
650
1000
非高血压
1150
3850
5000
总计
1500
4500
6000
由列联表中数据得
的观测值为
，
所以能有
的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关．
【考点】频率分布直方图，独立性检验
【解析】（1）利用频率分布直方图，填写分布表，利用频率分布直方图求解被调查者中肥胖人群的
平均值；
（2）求出
，
对照参考数据，判断有多大
（百分数）
的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关。
5.某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.
附：
，其中
.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女员工
男员工
合计
28
（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有
人，女员工有
人，求随机变量
的分布列与数学期望.
【答案】
（1）解：由题意得：2×2列联表如下：
属于“追光族"
属于“观望者"
合计
女员工
2
8
10
男员工
10
8
18
合计
12
16
28
，
故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
（2）解：由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人，
所以
可能的取值有
，
，
，
，
的分布列为：
0
2
4
的期望
.
【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）利用实际问题的已知条件填写
2×2列联表，
再利用
2×2列联表结合独立性检验的方法，判断出没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关。
（2）利用分层抽样的方法推出属于“追光族"的员工有12人，其中男员工10人，女员工2人，
所以
可能的取值有
，
进而利用组合数公式结合古典概型求概率的方法，从而求出随机变量
的分别列，再利用随机变量
的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量
的数学期望
。
6.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对
名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝
以上为“常喝”，体重超过
为“肥胖”．
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
已知在全部
人中随机抽取
人，抽到肥胖的学生的概率为
．
附：
?
p(k2＞k)
0.15
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】
（1）解：设全部30人中的肥胖学生共
名,则
,解得
.∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.列联表如下:
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
合计
10
20
30
（2）解：有;
理由:由已知数据可求得
,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
（3）解：根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为
,女生为
,则任取两人,
可能的结果有
?共15种,其中一男一女有
,
共8种.故正好抽到一男一女的概率为
【考点】独立性检验，相关系数，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】（1）由已知数据，即可将列联表补充完整；
（2）
由已知数据可得
，即可判断相关关系；
（3）由已知利用列举法，分别得
随机抽取2人和恰好抽到一名男生和一名女生的种数，即可求出概率.
7.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名五年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．
不常喝
常喝
合计
肥胖
x
y
50
不肥胖
40
10
50
合计
A
B
100
现从这100名儿童中随机抽取1人，抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为
（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
（2）根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图，并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖？
（3）是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
附：参考公式：K2=
，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）解：根据题意，不常喝碳酸饮料的学生为A=100×
=60，∴x=60﹣40=20，y=50﹣20=30，B=30+10=40
（2）解：根据列联表中的数据得常喝饮料的肥胖率为
=0.75，
不常喝饮料的肥胖率为
=0.33，
绘制肥胖率的条形统计图如图所示；
根据统计图判断常喝碳酸饮料会增加肥胖的可能
（3）解：由已知数据可求得：K2=
≈15.629＞7.879，
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
【考点】独立性检验
【解析】（1）根据题意，计算不常喝碳酸饮料的学生A，以及对应表中x、y和B的值；（2）根据列联表中的数据计算常喝饮料与不常喝饮料的肥胖率，绘图即可；根据统计图即可得出概率结论；（3）计算观测值K2
，
对照数表即可得出结论．
8.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表．且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8．
常喝
不常喝
合计
肥胖
60
不肥胖
10
合计
100
（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；
（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
附：参考公式：x2=
P（x2≥x0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）解：在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；
常喝
不常喝
合计
肥胖
60
20
80
不胖
10
10
20
合计
70
30
100
（2）解：由已知数据可求得：K2=
≈4.76＞3.841，
因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关
【考点】独立性检验的应用
【解析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，做出肥胖的学生人数，即可填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握说看营养说明与性别有关．