10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解概率基本性质的应用
②、掌握古典概型概率的步骤
③、理解随机事件
一、随机事件与概率
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.
2.样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
3.事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
二、事件的关系和运算
含义
包含关系
一般地,若事件A发生,则事件B一定发
生，找们就称事件B包含事件A(或事件
A包含于事件B),记作BA(或AB)
相等关系
如果事件B包含事件A,事件A也包含
事件B,即BA且AB,则称事件A与
事件B相等,记作A=B
并事件
(和事件)
一般地,事件A与事件B至少有一个发
生,这样的一个事件中的样本点或者在
事件A中,或者在事件B中，我们称这个
事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件)，记作AUB(或A+B)
交事件
(积事件)
一般地,事件A与事件B同时发生,这样
的一个事件中的样本点既在事件A中，
也在事件B中,我们称这样的一个事件
为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)
互斥事件
一股地，如果事件A与事件B不能同时
发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，
A∩B=,则称事件A与事件B互斥
(或互不相容）
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何
次试验中有且仅有一个发生，即AUB=
,且A∩B=,那么称事件A与事件B
互为对立.事件A的对立事件记为
三、古典概率
1、概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
2、古典概型
（1）古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限,但等可能;
③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能.
3、古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件
A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
四、概率的基本性质
性质1
对任意的事件A,都有P（A)≥0
性质2
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P()=1,P()=0
性质3
互斥事件的概率加法公式:如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P（B)
性质4
对立事件的概率公式:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P（B)=1-P(A),P（A)=1-P(B)
性质5
概率的单调性:如果AB,那么P（A)≤P(B)
性质6
概率的计算公式:设A
,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).特别地,当A与B互斥，即A∩B=时.可得到性质3
1.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会?经济?生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为
，乙同学答对每题的概率都为
，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为
，恰有一人答对的概率为
.
（1）求
和
的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】
（1）解：设
{甲同学答对第一题}，
{乙同学答对第一题}，则
，
.
设
{甲、乙二人均答对第一题}，
{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则
，
.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以
与
相互独立，
与
相互互斥，所以
，
.
由题意可得
即
解得
或
由于
，所以
，
.
（2）解：设
{甲同学答对了
道题}，
{乙同学答对了
道题}，
，1，2.
由题意得，
，
，
，
.
设
{甲乙二人共答对3道题}，则
.
由于
和
相互独立，
与
相互互斥，
所以
.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为
.
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】(1)根据互斥事件和对立事件的概率公式即可得到关于p和q的方程组，求解出结果即可。
(2)首先求出两个人答对一道题的概率，答对两道题的概率以及两人共答对3道题分情况讨论：每人答对一道题，一个人答对2道题的概率；结合互斥事件和独立事件的概率公式代入数值计算出结果即可。
2.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球?黄球?绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率是
，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球?黄球?绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】
（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球?黄球?绿球为事件
，
，
，
由于
，
，
为互斥事件，
根据已知，得
，
解得
，
所以，任取一球，得到黑球?黄球?绿球的概率分别是
，
，
.
（2）解：由（1）知黑球?黄球?绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为
，
则两个球颜色不相同的概率是
.
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】
（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率。
3.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为
、
、
，己知三个社团他都能进入的概率为
，至少进入一个社团的概率为
，且
.
（1）求
与
的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】
（1）解：依题
，解得
（2）解：由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为
，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件
，
则
；
；
.
故
.
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为
、
、
，已知三个社团都能进入的概率为
，至少进入一个社团的概率为
，且
，利用相关公式建立方程组，即可求得
与
的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
4.如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4
000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．
（1）为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1
500,2
000)的这组中应抽取多少人？
（2）试估计样本数据的中位数与平均数．
【答案】
（1）解：由题知，月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500＝0.4，
又月收入在[1000,1500)的有4
000人，故样本容量n
10000.
又月收入在[1500,2000)的频率为0.000
4×500＝0.2，
月收入在[1
500,2
000)的人数为0.2×10000＝2
000，
从10
000人中用分层抽样的方法抽出100人，
则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取100×
＝20(人)．
（2）解：月收入在[1000,2000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，
故样本数据的中位数为1500＋
＝1500＋250＝1750.??????
由频率分布直方图可知，
月收入在[3000,3500)的频率为
故样本数据的平均数为
【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，众数、中位数、平均数，概率的基本性质
【解析】（1）先求得月收入在[1000,1500)的频率，即可得到样本容量，求得月收入在[1
500,2
000)的人数，根据分层抽样求得答案；（2）利用中位数的公式求得中位数，再根据概率和为1求得月收入在[3000,3500)的频率，再利用平均数公式求得结果.
1.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形
内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”?“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”?“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为
，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.若
，则事件
与
的关系是（??
）
A.?互斥不对立????????????????????B.?对立不互斥????????????????????C.?互斥且对立????????????????????D.?以上答案都不对
4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（?
）
A.?至少有一个红球与都是红球????????????????????????????????B.?至少有一个红球与都是白球
C.?恰有一个红球与恰有二个红球?????????????????????????????D.?至少有一个红球与至少有一个白球
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
易知，“盈”的面积等于“虚”的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”占三角形的百分数.“盈”与“虚”的交界点在三角形腰的中点上，易知，“虚”占矩形面积的四分之一，故“盈”占三角形面积的四分之一.
2【答案】
D
【解析】
设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为
，有三个人休假的概率为
，所以两家店铺都不能正常营业的概率为
，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为
.
3.【答案】
D
【解析】
若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，
但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，
所以事件A与B的关系是不确定的．
4.【答案】
C
【解析】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球。
A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，