10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案Word

①、了解相互独立事件的应用
②、掌握互斥事件、相互独立事件的综合运用
③、理解事件的概率计算
一、事件的相互独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
(3)"A与B相互独立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要条件
(4)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积”
2.相互独立事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件
概率
A,B互斥
A,B相互独立
P(A)+P(B)
1-P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P()
l-[P(A)+P(B)]
P()P()
P()
P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)
PABUABUAB)
1
1-P(A)P(B)
1.某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为
，
，
，在实际操作考试中“合格”的概率依次为
，
，
，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？
（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．
【答案】
（1）解：设“甲获下一轮比赛”为事件
，“乙获得下一轮比赛”为事件
，“丙获得下一轮比赛”为事件
，则
，
，
以及
，
，
的每两次考试之间彼此相互独立．
因为
，
，
．
因为
，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．
（2）解：设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件
，则
．
由
，
，
．
可知
．
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为
．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（1）直接利用相互独立事件的运算公式的应用求出结果；
（2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果。
2.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为
，
，
，在实际操作考试中“合格”的概率依次为
，
，
，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】
（1）解：设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
，
，
.
因为
，所以丙获得合格证书的可能性最大
（2）解：设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
（1）记“甲、乙、丙获得合格证书”分别为事件A、B、C，由独立事件的概率分别可得P（C），P（B），P（A），比较大小可得结论；
（2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D，可得
，由独立事件和互斥事件的概率公式可得.
?3.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为
，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为
，乙发球时甲赢1分的概率为
，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了
个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.
【答案】
（1）解：甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，
所以甲队最后赢得整场比赛的概率为
，
（2）解：根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为
；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为
.
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.
4.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】
（1）解：
X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（1）第一问要求
的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
1.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷
次，至少出现一次6点朝上的概率是(???
)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
2.甲?乙?丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为
，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件
中恰有一个发生的概率是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.掷一枚硬币两次，记事件
“第一次出现正面”，
“第二次出现反面”，则有（??
）
A.?
与
相互独立????????????B.?????????????C.?
与
互斥????????????D.?
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率为
，
因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为
，
所以至少出现一次6点朝上的概率是
.
2.【答案】
D
【解析】
所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为
，故至少一人通过测试的概率为
.
3.【答案】
B
【解析】
记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，
则
∴事件A，B中恰有一个发生的概率是
.
4.【答案】
A
【解析】
对于A，由题意得事件
的发生与否对事件
的发生没有影响，所以
与
相互独立，A符合题意．
对于B，C，由于事件
与
可以同时发生，所以事件
与
不互斥，B,C不符合题意．
对于D，由于
与
相互独立，因此
，D不符合题意．