10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练Word含答案

10.2 事件的相互独立性
一、知识梳理
1.相互独立事件：对于两个事件A与B，如果____________成立，则称事件A与事件B相互独立。
2. 相互独立事件的结论：如果事件A与事件B相互独立，那么A与,与B，与都_____。
二、重要题型
知识点一:事件独立性的判定
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
知识点二:相互独立事件同时发生的概率
2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　)
A．0.2　　　　 B．0.8　　　 　C．0.4　　　 　D．0.3
3.若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为　　
知识点三:相互独立事件的综合应用
4．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为(　　)
A．1 B. C. D.
5．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．
（l）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
三、巩固练习
1．掷一枚骰子一次，记A表示事件“出现偶数点”，B表示事件“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件 D．既不互斥又不相互独立事件
2．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为(　　)
A.　　 B. C. D.
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B. C. D.
4.在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被熔断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A. B. C. D.
5．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
6．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(1)该应聘者用方案一通过考试的概率；
(2)该应聘者用方案二通过考试的概率．
7.（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.
8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
10.2 事件的相互独立性 答案
一、知识梳理
1. .
2. 独立
二、重要题型
1.解:(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的.
2.D. 由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5＝0.3，故选D.
系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，A正常工作的概率为：0.7；B，C至少有一个正常工作的情况的概率为1减去B，C都不正常工作的情况的概率，即：B，C至少有一个正常工作的概率为：
1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，所以：这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；
4.C. 一道数学难题，恰有一人解出，包括：
①A解出，B，C解不出，概率为××＝；
②B解出，A，C解不出，概率为××＝；
③C解出，A，B解不出，概率为××＝.
所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.
5.解：（1）由题意列出方程组，得：
，解得m＝，n＝．
（2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为Xi，
获得样本等候课学分分数不低于4分为事件A，
则P（X4）＝，P（X5）＝＝，P（X6）＝＝，
P（A）＝P（X4）+P（X5）+P（X6）＝＝．
三、巩固练习
1.B 因为该试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×＝P(A)P(B)，所以A与B是相互独立事件．
2. D 设甲独立破译密码的事件为A，乙独立破译密码的事件为B，则P(A)＝，
P(B)＝，所以P()＝，P()＝，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P()P()＝1－×＝.
3.D 由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．
设P(A)＝x，P(B)＝y，则,即
∴x2－2x＋1＝，∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.
4.D 左上方2个箱子畅通的概率为，所以不畅通的概率为，
则左边3个箱子畅通的概率为.右边2个箱子畅通的概率为.
所以当开关合上时，电路畅通的概率是.
5. 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为：
1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝.
6.解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)应聘者用方案一通过考试的概率为P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.
(2)从三门课程中随机选取两门的样本空间为Ω＝{AB，AC，BC}，每个样本点发生的概率均为，因此，应聘者用方案二通过考试的概率为P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝P(A)P(B)＋P(B)P(C)＋P(A)P(C)＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9
＝0.43.
7.解：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人.
故至少参加上述一个社团的共有 (人)，
所以从该班随机选1名同学，
该同学至少参加上述一个社团的概率为.
（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，
其一切可能的结果组成的基本事件有： ，，
，，，，
，，，，，，
，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，，共2个.
因此被选中且未被选中的概率为.
8.解：(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(1)＝P(2)＝P(3)＝P(4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝3×＋×3＝.所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则D＝B1B234∪1B234，且B1B234与1B234是互斥事件．由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，P(i)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)＝P(B1B234)＋P(1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)＝2×2＋×3＝.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.