2020-2021学年人教版八年级下册数学第十八章平行四边形(九)（Word版，含答案）

第18章
《平行四边形》单元测试
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如果一个三角形的周长为10，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．12
2．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB＝CD；（2）BE＝DF；（3）SABDC＝SBDFE；（4）S△ABE＝S△DCF．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（　　）
A．CE∥FG
B．CE＝FG
C．A、B两点的距离就是线段AB的长
D．直线a、b间的距离就是线段CD的长
4．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为(　
　)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．如图，在矩形中，，，则（
）
A．6
B．
C．5
D．
6．已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm,则菱形的面积为（
）
A．
B．40
C．
D．
7．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（
）
A．对角线垂直
B．对角线互相平分
C．四个角都是直角
D．对角线相等
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对于反比例函数y＝，y随x的增大而增大
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．一元二次方程一定有两个实数根
9．在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列判断正确的是（
）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
二．填空题（每题4分，共20分）
11.
如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．
12.
菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于
．
13.
如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．
14.
如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，
则
15.
（2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．
16.
如图，在平行四边形□中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为
．
三．解答题（每题10分，共50分）
17．如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点且AF＝AD，求证：
①CE平分∠BCF；
②判断△CEF的形状；
③CF＝AF+AB．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的直线EF与AB、CD分别交于点E、F，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝4，AC＝8，且OF＝CF，求四边形BEDF的面积．
19．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　
　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．
（1）求∠BGC的度数；
（2）若CE＝1，H为BF的中点时，求HG的长度；
（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长．
21．在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．
（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；
（2）求证：∠ECF＝∠CEF．
参考答案
一．选择题
1．B
2．D
3．D
4．
A．
5．A．
6．B．
7．B．
8．A．
9．
A．10．B
二．填空题（共5小题）
11.
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴，∴
又∵，∴
∴．
12..
【答案】
13.
【答案】　【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.
14.
【答案】
15.
【答案】5
【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．
∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．
在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．
设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．
在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2
即x2＝(8－x)2＋42．
∴x＝5．即线段DE的长为5cm．
16.
【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD∥BC，AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB.又∵BE、CE分别是∠ABC与∠DCB的平分线，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE=2,DC=DE=2,
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）证明：①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，
即有∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，AG＝AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，，
∴△ABG≌△AFG；
②∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，
∴DE＝FE＝2，CE＝4，
不妨设BG＝FG＝x，（x＞0），
则CG＝6﹣x，EG＝2+x，
在Rt△CEG中，（2+x）2＝42+（6﹣x）2
解得x＝3，于是BG＝GC＝3，
（2）∵＝，
∴＝，
∴S△FGC＝S△EGC＝××4×3＝．
17．①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E是AB的中点，AF＝AD，
∴AE＝BE＝2AF，AB＝BC＝CD＝AD＝4AF，
设AF＝a，则FD＝3a，DC＝BC＝4a，AE＝EB＝2a，
由勾股定理得：EF＝＝a，CE＝＝2a，CF＝＝5a，
∵，，，
∴，
∴△CEF∽△CBE，
∴∠ECF＝∠BCE，
∴CE平分∠BCF；
②解：△CEF是直角三角形；理由如下：
∵EF2+CE2＝25a2，CF2＝25a2，
∴EF2+CE2＝CF2，
∴△CEF是直角三角形；
③证明：作EM⊥CF于M，如图所示：
则BE＝ME，∠EMC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△MCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△MCE（HL），
∴BC＝MC，
同理：Rt△AEF≌△MEF，
∴AF＝FM，
∵CF＝FM+MC，
∴CF＝AF+AB．
18．解：（1）在矩形ABCD中，
OB＝OD，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△OFD与△OEB中，
，
∴△OFD≌△OEB（AAS），
∴OF＝OE，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）在矩形ABCD中，
AD＝4，AC＝8，
∴AD＝OA＝OD＝4，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠DCA＝30°，∠DOA＝60°，
∵OF＝CF，
∴∠FOC＝∠FCO＝30°，
∴∠DOF＝90°，
∴四边形BEDF是菱形，
在Rt△DOF中，
∠FDO＝30°，OD＝4，
∴OF＝，
∵AC＝BD＝8，
∴菱形BEDF的面积为：BD?2OF＝BD?OF＝
19．解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，
在△BCE和△CDF中，∵BC＝CD，∠BCD＝∠CDF，CE＝DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠BCG+∠CBE＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）如图，∵CE＝1，
∴DF＝1，
∴AF＝2，
在直角△ABF中，由勾股定理得：，
∵H为BF的中点，∠BGF＝90°，
∴；
（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
∴ab＝3，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3．
21．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
22．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由线段中点的定义得到AF＝FD，根据等腰三角形的性质得到∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，于是得到结论；
（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，根据平行线的性质得到∠A＝∠MDF，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，根据直角三角形的性质得到FC＝EM＝FE，由等腰三角形的性质得到．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF＝（180°﹣80°）＝50°，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；
（2）如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，
∴∠ECF＝∠CEF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
F
E
D
B
C
A