(共9张PPT)
6.3 不等式的证明（1）
___比较法
根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？
a b>0 a>b，a b<0 a比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：
作差—变形—判断符号—下结论。
作商—变形—与1比较大小---下结论。
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法
例1.求证：
证：∵
≥
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是
多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
例2.已知
都是正数，并且
求证
证明：
∵
都是正数，
并且
即：
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若
都是正数，
当
时，
当
时，
例3.
已知 都是正数，并且 ，
求证：
证明：
∵
都是正数，
∴
又∵
即：
本题变形的方法— 因式分解法
例4
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半
时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以
速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙
两人谁先到达指定地点。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完
这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有
其中S，m，n都是正数，且m≠n,
于是t1-t2<0
从而可知甲比乙首先到达指定地点。
即
小结：
作差比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。(共15张PPT)
复习：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—定符号---下结论
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
复习：综合法
利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与
几何平均数的定理)和不等式的性质推导出所要证
明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.
综合法的思路是“由因导果”、已知 未知，
即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的
不等式，直到推导 出要证明的不等式。
综合法的思路是“由因导果”、已知 未知，
即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的
不等式，直到推导 出要证明的不等式。
6.3 不等式的证明（3)—分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。
例1.已知
都是正数，并且
求证
证明：
∵
都是正数，
本题的结论反映了分式的一个性质：若
都是正数，
当
时，
当
时，
为了要证明
只需证明
因此，只需证明
用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：
欲证命题B为真，
只需证命题B1为真，
只需证命题B2为真，
……
只需证命题Bn为真，
只需证命题A为真，
令已知命题A为真，
故命题B为真。
用简要的形式写为：
B B1 B2 …… Bn A
结论 （寻求不等式成立的充分条件） 条件
例2. 求证：.
所以为了证明
只需证明
展开得
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困
难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。
在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用
分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证
明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
分析法的思路是“执果索因”，未知 已知
即从求证的不等式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。
例3.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的
面积大。
证明：设周长为
依题意，圆的面积为
正方形的面积为
所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
因此只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，如果周长相等，那么
圆的面积比正方形的面积大。
例4:已知a＞b ＞0，求证
＜
＜
证明：
只需证
＜
＜
只需证
＜
＜
1
∵ a＞b ＞0
＜
＝1
∴
＞
＝1
即
＜1＜
∴
＜
＜
＜
＜
欲证
练习1.求证：
证明：
不等式显然成立
原不等式即证
若ac+bd≤0,
练习2 ：已知C＞1，求证：
证明：∵C＞1 ∴C+1＞0 C-1＞0
即证-1＜0 而此式显然成立
成立
原不等式
C
C
C
2
1
1
á
-
+
+
\
练习3
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
≥
例3：若a、b、c是不全相等得正数
求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc
要证 lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc
只需证 lg ＞lgabc
只需证 ＞abc
∵a、b、c是正数
∴
＞0，
≥
＞0，
≥
＞0
≥
∵a、b、c不全相等
∴
＞ ＝abc
∴ lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc
证明:
常用已证过的不等式：
1° a2 0（a R）
2° a 0（a R）
3° 及其变形
4° （a>0，b > 0）及其变形(共19张PPT)
不等式的证明
复习
不等式证明的常用方法:
比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。
例题
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
不可能同时大于1/4
则三式相乘： (1 a)b (1 b)c (1 c)a >
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤
与①矛盾∴结论成立
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4, (1 c)a>1/4,
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是传递性。
放缩法
例1、若a, b, c, d R+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, d R+
∴1 < m < 2 即原式成立
法１：
证明：在 时，显然成立.
当 时，左边
法２：
法３：函数的方法
例4、巳知：a、b、c∈ ，求证：
略解
小结
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：
证：∵n > 2 ∴
∴n > 2时,
课堂练习
2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
课堂小结
证明不等式的特殊方法:
（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
适当的放缩实现证明的方法。
（2）反证法：先假设结论的否命题成立，
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
论成立的方法。(共14张PPT)
常用已证过的不等式：
1. a2 0（a R）;
2. a 0（a R）;
3. 及其变形 ;
4. （a>0，b > 0）及其变形
复习：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号---下结论.
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
6.3 不等式的证明（2)—综合法
有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.
由例5可得一个重要的不等式：
由因导果
例2.已知
是不全相等的正数,求证
证明：∵
三式中不能
全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
=1
当且仅当x=y时等号成立.
3 . 已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：
小结：
综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式
的逻辑关系是：
为证明过的
不等式，
要证的不等式）。
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
必(共17张PPT)
一、比较法
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号
作商—变形—判断和1的关系
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
例1 已知a，b都是正数，且a≠b，
求证：a3+b3＞a2b+ab2
例2 如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则其浓度为a/b。若在上述溶液中再添加m kg白糖，此时溶液的浓度增加到（a+m)/(b+m).
请将这个事实抽象为数学问题，
并给出证明。
例3 已知a，b是正数，
求证：aabb≥abba
二、综合法
从已知条件和不等式的性质、已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理) 等出发，推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做
综合法.
综合法又叫顺推法或由因导果法
例1.已知
是不全相等的正数,求证
证明：∵
三式中不能
全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
例2 已知a1,a2,a3,…,an∈R+,且a1a2a3…an=1,
求证：(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n
三、分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。
分析法的思路是“执果索因”，未知 已知
即从求证的不等式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。
四、反证法
先假设结论的命题否定成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
五、放缩法
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是传递性。
例3、若a, b, c, d R+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, d R+
∴1 < m < 2 即原式成立
例题
例4、巳知：a、b、c∈R，求证：
例5、当 n > 2 时，求证：
证：∵n > 2 ∴
∴n > 2时,(共18张PPT)
不 等 式 的 证 明
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪;便于将灵魂从变化世界转向真理的实在.
柏拉图 《理想国》
不等式的证明方法简介
1、比较法：作差比较与作商比较
2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。
3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即由果上索因。
4、函数性质法（如函数单调性等）
5、放缩法
6、构造法（构造几何图形、方程或函数等）
7、反证法
已知：
求证：
在 上是增函数，
当 时，有
即
证明1：
（构造函数法）
设
练习：若
且
求证：
证明：
易证函数
在
上单调递减。则
故 在 与1之间，
分
与1为定比
证明2：
（构造公式法）
即
又
（构造几何图形）
证明3：
如图，作 使
连接OF交AB的延长线与E。
连结AC、BD相交与O，延长CD到F，
世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步步推进，以至它的每个命题都是绝对不容置疑的…
——爱因斯坦
上帝是一个几何学家，他按照几何的模式来创造了世界.
柏拉图
练习：若
则
证明：如图，设A（1，a），B（1，b），则
y
x
O
A
B
证明：要证
只需证
即
也即
而
成立
所以原不等式成立
（分析法）
证明：
（综合法）
谢 谢
