基本不等式应用
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文档简介
(共29张PPT)
基本不等式
【考纲要求】
1.本节内容在高考要求中是C级知识点，即理解、掌握并运用；
2.复习并掌握重要不等式及它的变式的应用；
4.应用均值不等式（极值定理--“和定积最大，积定和最小” ）求最大（小）值。
3.理解均值不等式的关系:
【考点诠释】
重点：能灵活利用均值不等式及其变式解决有关证明和求值问题；
难点：要充分注意极值定理的应用条件：
“一正，二定，三相等”。当不具备极值
定理的条件时可采用函数单调性或其他
方法处理。
【教材复习】
（1）基本不等式成立的条件：
1.基本不等式：
a
b
（3）几何意义：
“半弦小于半径”
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号
2.几个重要的不等式
（1）
（2）
（3）
【基础训练】
1.下列函数中，最小值为4的是________.
①
②
③
④
③
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______.
[9,+∞)
解：ab=a+b+3
3.如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为_______.
18
解：由题意log3mn ≥4从而mn ≥ 81
4.已知 ，则 的最小值_______.
9
解：
例1： 已知 ， ,求x+y的最小值。
取等条件不同
误解：由
得
而
【典例解析】 题型一：利用不等式求最值
正解：
当且仅当 时取等号
变式1：
x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法一：由题意得2x+8y=xy
例2：已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。
当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。
于是x＝2或者x＝0（舍去）
构造积为定值
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
∴x＋ ＝（x－1）＋ ＋1
变式1：
x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法二：由题意得
变式2：
设函数 ，则函数f(x)的最大值为_____
解：
负变正
题型二：利用不等式解应用题
（ ）
解：（1）
x
x
x
y
)
2
6
4
2
(
5
.
0
100
+
+
+
+
+
+
=
L
5
.
1
100
+
+
=
x
x
y
即
0
>
x
探究拓展：
（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。
（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。
（2）由均值不等式得
5
.
21
5
.
1
100
2
5
.
1
100
=
+
×
+
+
=
x
x
x
x
y
当且仅当 ，即x=10时取等号
x
x
100
=
题型三：不等式的证明
例4：已知 求证：
思维点拨：由于不等式左边含字母a,b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实行“1”的代换。
证：
当且仅当 时取等号
变式3：
已知 ，求证：
证：
当且仅当时 取等号
【反思感悟】
1. 成立的条件是 ，而
成立，则要求a≥0且b≥0。使用时，要明确定理成立的前提条件。
2.在运用均值不等式时，存在前提“一正二定三相等，”三个条件缺一不可。
3.注意掌握均值不等式的逆运用。
【走近高考】
1.（08年江苏卷）设x,y,z为正实数，满足 ，则 的最小值是______
解：由 得
代入 得
当且仅当x=3z时取等号
2.（06年上海卷）若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc= ,则2a+b+c的最小值为______
解：
4.（08年重庆卷）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则 的最大值为____
解：a是1+2b与1-2b的等比中项，
则
【课堂小结】
公式的正用、逆用和变形用；
公式条件：正、定、等；
构造“和定”或“积定”求最值。
应用题:弄清题意,建立模型
基本不等式
【考纲要求】
1.本节内容在高考要求中是C级知识点，即理解、掌握并运用；
2.复习并掌握重要不等式及它的变式的应用；
4.应用均值不等式（极值定理--“和定积最大，积定和最小” ）求最大（小）值。
3.理解均值不等式的关系:
【考点诠释】
重点：能灵活利用均值不等式及其变式解决有关证明和求值问题；
难点：要充分注意极值定理的应用条件：
“一正，二定，三相等”。当不具备极值
定理的条件时可采用函数单调性或其他
方法处理。
【教材复习】
（1）基本不等式成立的条件：
1.基本不等式：
a
b
（3）几何意义：
“半弦小于半径”
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号
2.几个重要的不等式
（1）
（2）
（3）
【基础训练】
1.下列函数中，最小值为4的是________.
①
②
③
④
③
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______.
[9,+∞)
解：ab=a+b+3
3.如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为_______.
18
解：由题意log3mn ≥4从而mn ≥ 81
4.已知 ，则 的最小值_______.
9
解：
例1： 已知 ， ,求x+y的最小值。
取等条件不同
误解：由
得
而
【典例解析】 题型一：利用不等式求最值
正解：
当且仅当 时取等号
变式1：
x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法一：由题意得2x+8y=xy
例2：已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。
当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。
于是x＝2或者x＝0（舍去）
构造积为定值
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
∴x＋ ＝（x－1）＋ ＋1
变式1：
x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法二：由题意得
变式2：
设函数 ，则函数f(x)的最大值为_____
解：
负变正
题型二：利用不等式解应用题
（ ）
解：（1）
x
x
x
y
)
2
6
4
2
(
5
.
0
100
+
+
+
+
+
+
=
L
5
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1
100
+
+
=
x
x
y
即
0
>
x
探究拓展：
（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。
（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。
（2）由均值不等式得
5
.
21
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.
1
100
2
5
.
1
100
=
+
×
+
+
=
x
x
x
x
y
当且仅当 ，即x=10时取等号
x
x
100
=
题型三：不等式的证明
例4：已知 求证：
思维点拨：由于不等式左边含字母a,b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实行“1”的代换。
证：
当且仅当 时取等号
变式3：
已知 ，求证：
证：
当且仅当时 取等号
【反思感悟】
1. 成立的条件是 ，而
成立，则要求a≥0且b≥0。使用时，要明确定理成立的前提条件。
2.在运用均值不等式时，存在前提“一正二定三相等，”三个条件缺一不可。
3.注意掌握均值不等式的逆运用。
【走近高考】
1.（08年江苏卷）设x,y,z为正实数，满足 ，则 的最小值是______
解：由 得
代入 得
当且仅当x=3z时取等号
2.（06年上海卷）若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc= ,则2a+b+c的最小值为______
解：
4.（08年重庆卷）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则 的最大值为____
解：a是1+2b与1-2b的等比中项，
则
【课堂小结】
公式的正用、逆用和变形用；
公式条件：正、定、等；
构造“和定”或“积定”求最值。
应用题:弄清题意,建立模型