104
追击和相遇问题（例题）
【例1】（2020?东莞市模拟）甲、乙两车在同一水平道路上行驶，t＝0时刻，乙车在甲车前方8m处，此后两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是（ ）
A．两车相遇一次
B．两车相遇三次
C．当t＝4s时两车相遇
D．当t＝8s时两车相遇
【分析】根据图象与时间轴围成的面积可求出两车的位移，则可确定何时两车相遇。能够根据两车的运动过程，分析两车在过程中的相对位置。
【解答】解：根据图象与时间轴围成的面积表示位移，由图象可知，0﹣4s内甲车的位移比乙车的位移多8m，因为t＝0时刻，乙车在甲车前方8m处，所以t＝4s时两车第一次相遇。
在4﹣8s内，乙车的位移比甲车的位移多4m，但在t＝8s后甲车速度大于乙车，经计算10.83s末两车第二次相遇，之后，因为乙车在12s末停止运动，甲车始终在前，两车不再相遇，故两车相遇两次，一次在t＝4s时，一次在t＝10.83s时，故C正确，ABD错误。
故选：C。
【点评】在速度﹣时间图象中，要注意观察三点：一点，注意横纵坐标的含义；二线，注意斜率的意义；三面，速度﹣时间图象中图形与时间轴围成的面积为这段时间内物体通过的位移。
【例2】（2020?运城模拟）甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上以相同的速度v0＝30m/s一前一后同向匀速行驶。甲车在前且安装有ABS制动系统，乙车在后且没有安装ABS制动系统。正常行驶时，两车间距为100m。某时刻因前方突发状况，两车同时刹车，以此时刻为零时刻，其v﹣t图象如图所示，则（ ）
A．甲、乙两车会发生追尾
B．甲车的刹车距离大于乙车的刹车距离
C．t＝2s时，两车相距最远，最远距离为105m
D．两车刹车过程中的平均速度均为15m/s
【分析】在速度﹣时间图象中，图象与坐标轴围成的面积表示位移，由几何知识求出两车速度相等时之间的距离，与100m比较，从而确定两车是否追尾。由几何关系求刹车的距离。根据速度关系分析两车距离如何变化，再分析平均速度的大小。
【解答】解：ABD、根据图象的“面积”表示位移，知甲车的刹车距离为：x甲＝m＝45m
刹车过程中的平均速度为：＝＝m/s＝15m/s
乙车的刹车距离为：x乙＝（×1+）m＝60m
刹车过程中的平均速度为：＝＝m/s＝10m/s
则甲车的刹车距离小于乙车的刹车距离。
t＝0时两车间距为100m，因为x乙﹣x甲＝15m＜100m，所以甲、乙两车不会追尾，故ABD错误。
C、由几何关系知，t＝2s时两车的速度均为10m/s。t＝0时两车间距为100m，乙车在后，刹车后，0﹣2s内甲车的速度比乙车的大，两车间距增大。2s后，甲车的速度比乙车的小，两车间距减小，则t＝2s时，两车相距最远，最远距离为：
s＝[×2﹣（×1+×1）]m+100m＝105m，故C正确；
故选：C。
【点评】本题关键是根据速度时间图象得到两个物体的运动规律，知道图象与时间轴包围的面积表示位移大小，两车速度相等时相距最远，结合初始条件进行分析处理。
【例3】（2020春?泸县校级月考）在平直公路上，甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后。某时刻因紧急避险，两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞。如图所示为两车刹车后运动的v﹣t图象，以下分析正确的是（ ）
A．甲刹车的加速度的大小为0.5m/s2
B．两车刹车后间距一直在减小
C．两车开始刹车时的距离为87.5m
D．两车都停下来后相距12.5m
【分析】根据速度时间图线的斜率求出甲、乙两车刹车后的加速度大小。两车刚好没有发生碰撞时速度相等，结合位移时间公式分别求出两车的位移，结合位移之差求出两车开始刹车时的距离。由图象的“面积”求两车都停下来后通过的位移，得到两车都停下来后相距的距离。
【解答】解：A、甲车刹车的加速度大小
a1＝||＝m/s2＝1m/s2，故A错误；
B、在0﹣20s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的后面，两者间距减小。20s后，甲的速度小于乙的速度，两者距离增大，故B错误；
C、乙车的加速度大小
a2＝||＝m/s2＝0.5m/s2，两车刚好没有发生碰撞，此时两车速度相等，所经历的时间为20s，此时甲车的位移
x甲＝v甲t+a甲t2＝（25×20﹣×1×202）m＝300m，乙车的位移x乙＝v乙t+a乙t2＝（15×20﹣×0.5×202）m＝200m，所以两车开始刹车时的距离为
S＝x甲﹣x乙＝100m，故C错误；
D、20s时，甲、乙的速度都为
v＝v甲+a1t＝（25﹣1×20）m/s＝5m/s，根据图象与坐标轴围成的面积表示位移可知，两车都停下来后相距△x＝×（30﹣25）×5m＝12.5m，故D正确。
故选：D。
【点评】本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住临界条件：两车的速度相等，结合运动学公式和速度时间图线综合分析。
【例4】（2020春?南充月考）甲、乙两辆车从同一地点沿同一直线同时运动，如图所示，a、b分别是甲、乙的v﹣t图象，图象交点对应的时刻为t0，由图象可以判断（ ）
A．2
s～8s甲、乙两车的加速度大小相等
B．在0～8s内两车最远相距148m
C．两车在0时刻和2s末速度相等
D．两车在t＝8s时相遇
【分析】在v﹣t图象中，图线的斜率大小等于加速度大小，根据斜率的大小分析两车加速度的大小。图线与坐标轴所围“面积”等于位移，并结合两车的运动情况，确定在0～8s内相距的最远距离。由图直接读出速率相等的时刻。根据位移关系判断两车在t＝8s时能否相遇。
【解答】解：A、2s～8s内，甲图线的斜率绝对值大于乙图线的斜率绝对值，则甲的加速度大于乙的加速度，故A错误；
B、当甲、乙两车速度相等时相距最远，根据a、b两条直线的解析式：a直线：v＝﹣10t+40
（m/s），b直线：v＝t﹣（m/s），运用数学知识算出交点的横坐标为
t＝4.4s，纵坐标为
v＝﹣4m/s，由图象法可知此时a、b的距离为
S＝（﹣×0.4×4）m+（20×2+）m＝148m，所以在0～8s内两车最远相距148
m，故B正确；
C、由图知，由于速度是矢量，可知，两车在0时刻和2s末时两车速度均不等，故C错误；
D、相遇要求在同一时刻两车到达同一位置，甲、乙两车从同一地点沿同一直线同时运动，所以相遇时两车的位移相同。由“面积法”可知：0﹣8s内，甲的位移sa＝0，sb＝（﹣40﹣30+30）m＝﹣40m，不相等，所以两车在t＝8
s时没有相遇，故D错误。
故选：B。
【点评】本题考查速度﹣时间图象的应用，要明确斜率的含义，知道图象与坐标轴围成的面积的含义，解答时要注意位移的符号。
【例5】（2020?淇滨区校级二模）在刚刚过去的“坑口嘉年华”﹣﹣省实体育节上，4×100m接力赛是田径比赛中一个激烈的比赛项目，甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度L＝20m，求：
（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a；
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
（3）某次训练中s0＝12米，甲以8米每秒的速度匀速运动，而乙静止开始匀加速的最大速度可达6m/s，并可以维持这个速度较长的时间，要使甲、乙能在接力区内完成交接棒，且比赛成绩最好，则乙在接棒前加速阶段的加速度应为多少？
【分析】（1）乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动，根据两人的位移差为13.5m。求出乙在接棒前运动的时间，根据速度时间公式v＝at，求出乙接棒前的加速度；
（2）根据平均速度公式求出乙接棒前运动的位移，从而得出离接力区末端的距离；
（3）甲、乙的最大速度：v甲＞v乙，所以在完成交接棒时甲走过的距离越长，成绩越好。因此应当在接力区的末端完成交接，且乙达到最大速度。通过乙先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，通过加速的时间和匀速的时间，求出匀加速直线运动的加速度。
【解答】解：（1）设经过时间t，甲追上乙。甲的位移为：x1＝vt，乙的位移为：x2＝，由位移关系有：vt＝+13.5m，
将v＝9m/s代入得到：t＝3s，
根据
v＝at代入数据解得：a＝3m/s2，
故乙在接棒前的加速度为：a＝3m/s2；
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离为：△S＝L﹣x2，
代入数据得：△S＝20﹣13.5＝6.5m；
（3）因为甲、乙的最大速度：v甲＞v乙，所以在完成交接棒时甲走过的距离越长，成绩越好。因此应当在接力区的末端完成交接，且乙达到最大速度v乙。
设乙的加速度为a，加速的时间为：t1＝，在接力区的运动时间为：t＝，
所以有：L＝at12+v乙（t﹣t1），
解得：a＝4.5m/s2＝4.5m/s2
答：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a的大小为3m/s2；
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离为6.5m；
（3）乙在接棒前加速阶段的加速度应为4.5m/s2。
【点评】解决本题的关键理清运动过程，运用运动学公式灵活求解，注意推论公式的灵活运用。
【例6】（2020?吉林模拟）据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2s，相当于盲开50m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离（从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离）至少是25m，根据以上提供的信息：
（1）求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小
（2）若该车以108km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包2s后才发现危险，司机的反应时间为0.5s，刹车的加速度与（1）问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。
【分析】（1）根据司机低头看手机2s，相当于盲开50m，由位移时间关系求得汽车的行驶速度，由速度位移关系即可求解汽车刹车的最大加速度；
（2）汽车盲开和反应时间内都在做匀速直线运动，据速度位移关系求得匀速运动位移，刹车后做匀减速运动，由位移速度关系求得匀减速运动位移，再比较总位移与100m的大小确定是否发生交通事故。
【解答】解：（1）汽车运动的速度为
汽车刹车的最大加速度为a，则
＝12.5m/s2
（2）108km/h＝30m/s
司机看手机时，汽车发生的位移为
x1＝v2t＝30×2＝60m
反应时间内发生的位移的大小为
x2＝v2△t＝30×0.5＝15m
刹车后汽车发生的位移
所以汽车前进的距离为
x＝x1+x2+x3＝60+15+36＝111m＞100m
所以会发生交通事故。
答：（1）汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小为12.5
（2）汽车会发生交通事故。
【点评】掌握匀速直线运动和匀变速直线运动的位移时间关系，知道司机低头开的时间和反应时间内汽车做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动，这是解决本题的关键。
第1页（共1页）英杰物理
《高考物理顶层设计》系列资料
考点考向通01
追击和相遇问题
资料编号:104
一、追及问题的两类情况
习题编号
时,两者处
置,且后者速度一定大于等于前者速度
若追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相
特别提醒
追和被追的两个物体速度相等(同向运动是能追上、追不上或者两者距离有极值的
临界条件
二、相遇问题的两类情况
运动的两物体追及并相遇:两物体位移大小之差等于
两物体
物体相遇:各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离
特别提醒
在同一直线上相向运动的两物体,各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体
司的距离时即相遇。在避碰问题中,关键是把握临界状态,避碰问题的临界状态还是反
映在速度相等这一关键点上,即两个运动物体具有相同的位置坐标时,两者的相对速度
为零
三、分析追及与相遇问题的美键
个临界条件——速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最
界条件,也是分析问题的切入点
两个关系——时间关系和位移关系。时间关系是指两物体运动时间是否相等,两物
是
位移关系是指两物体是从
找出两物体的位移关系是解题的
特别提醒
(1)紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式是解题的
(2)审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最
多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件
(3)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外还
要注意最后对解的讨论分析
四、追及问题的两类情况详细分析
速度小者追速度大者
匀速追匀减速
It=l以前,后面物体与前面物体间距离
增
078y=0以物与高物间正高
匀加速追匀速
匀加速追匀减速
减
④能追上且只能相遇一次
x为开始时两物体间的距
英杰物理
设计》系列资料
考点考向通02
速度大者追速度小者
D
ti
to
2
li
lo
t2
匀减速追匀速
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
开始追时,后面物体与前面物体
减小,当两物体速度相等
则恰能追上,两物体只能相遢一次,这也是避免相撞的临界条
②若Δx若Δx>x则相遇两次,设t时刻Δ
两物体第一次相
刻两物体第二次相遇
主:x是开始时两物
距离
※常用解追及、相遢问题的方法
法
相关说明
通过对物理情景和物理过程的分析,寻找问題中隐含的临界条件。例如速度小者
临界法(物理分
加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度
析法)
者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离
路一:先求出在任意时刻t两物体间的距离y=f(1),若对任何时刻t,均存在
f()>0,则这两个物体永远不能相遇;若存在某个时
则这两个
物体能相遇
函数法
路二:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程八)=0,若
程川()=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相過;若方程∫(1)=0存在正实数解
说明这两个物体能相遇
(1)若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移图象
图象法
相交,则说明两物体相遇
(2)若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积
的知识求解追及问題时,要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速
度和位移)转化为相对的物理量,在追及问題中,常把被追物体作为参考系,这样
相对运动法
追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为:x相对=x后一x前,V相对=v后-V前
对=a后一日前,且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定
※图象法解决追及相遇问题的方法技巧
(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问題,过程较为复杂。如果两物体的加速度没
有给出具体的数值,并且两个加速度的大小也不相同,如果用公式法,运算量比较大
且过程不够直观,若应用ν图象进行讨论,则会
化
(2)根据物体在不同阶段的运动过程,利用图象的斜率、面积、交点等
相应
图象,以便直观地得
审題审图,确定追及或相遇类型→确定速度相等时的临界物理量→确
)列方程→利用图象或方程组求解,注意数学方法的应用,必要时对计算结果进行
理性
