江苏省宜兴市张渚镇高中2020-2021学年高二下学期学段一质量检测（5月）数学试题 Word版含答案

2021年春学期张渚高级中学高二年级学段一质量检测
高二数学 试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 设，则（ ）
A. 0 B. C.1 D.
2. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3．从5名男医生和5名女医生中选3人组队参加援汉志愿者医疗队，其中至少有一名女医生入选的组队方案数为（ ）
A．180 B．110 C．100 D．120
4．展开式中的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
5．2021年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）
A．462 B．126 C．210 D．132
6．设复数满足条件，那么的最大值是（ ）
A．4 B．16 C．2 D．
7．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c
8．满足的最大自然数=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．）
9．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）.
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数
C． D．在复平面内对应的点位于第三象限
10．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.
A． B． C． D．18
11. 中国南北朝时期著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为．若，，则的值可以是（ ）
A.2025 B. 2026 C. 2017 D. 2018
12．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为；
B．当时，存在唯一极小值点，且；
C．对任意，在上均存在零点；
D．存在，在上有且只有一个零点.
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．用、、、、、这六个数字可以组成不重复的四位偶数有 个．
14.已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：
甲：；乙：；丙：；丁：．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝ ．
15．在二项式的展开式中，有理项的个数为 ．
16．已知函数，若函数在单调递增，则实数的取值范围是___________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知复数，是实数，是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.
18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（2）全体排成一排，女生必须站在一起；
（3）全体排成一排，男生互不相邻.
19．已知(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．
20.已知函数，其中为自然对数底数.
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.
21．自2020年以来，由于新冠疫情，网络教学已成为前期学生获取知识的主要途径，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（结果保留1位小数）
22．已知函数f(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．
2021年春学期张渚高级中学高二年级学段一质量检测
高二数学 试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1. 设，则（ C ）
A. 0 B. C.1 D.
2. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ D ）
A. B. C. D.
3．从5名男医生和5名女医生中选3人组队参加援汉志愿者医疗队，其中至少有一名女医生入选的组队方案数为（ B ）
A．180 B．110 C．100 D．120
4．展开式中的系数为（ D ）
A．10 B．24 C．32 D．56
5．2021年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ B ）
A．462 B．126 C．210 D．132
6．设复数满足条件，那么的最大值是（ A ）
A．4 B．16 C．2 D．
7．若，，，则a，b，c的大小关系为（ D ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c
8．满足的最大自然数=（ B ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．）
9．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ACD ）.
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数
C． D．在复平面内对应的点位于第三象限
10．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（BC ）.
A． B． C． D．18
11. 中国南北朝时期著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为．若，，则的值可以是（ AC ）
A.2025 B. 2026 C. 2017 D. 2018
12．关于函数，，下列说法正确的是（ ABD ）
A．当时，在处的切线方程为；
B．当时，存在唯一极小值点，且；
C．对任意，在上均存在零点；
D．存在，在上有且只有一个零点.
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．用、、、、、这六个数字可以组成不重复的四位偶数有 156 个．
已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：
甲：；乙：；丙：；丁：．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝ ．
15．在二项式的展开式中，有理项的个数为 3 ．
16．已知函数，若函数在单调递增，则实数的取值范围是___________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知复数，是实数，是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.
17.解析（1）因为，所以.
又因为是实数，所以.
所以，即………………………………………5分
（2）因为，，所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，所以解得，
即实数的取值范围为.………………………………………10分
18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（2）全体排成一排，女生必须站在一起；
（3）全体排成一排，男生互不相邻.
18.解析（1）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有（种）. ………………………………………4分
（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）………………………………………8分
（3）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有（种）………………………………………12分
19．已知(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．
19.解析：(1)令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n＝4n，
展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.
∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，…………………………4分
∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270.…………………………………………………………………6分
(2)展开式通项公式为Tr＋1＝C3r·(x)5－r(x2)r＝C·3r·
假设Tr＋1项系数最大，则有………………………8分
∴∴∴≤r≤.
∵r∈N*，∴r＝4.……………………………………………………………10分
∴展开式中系数最大项为T5＝C·34·x＋＝405………………12分
20.已知函数，其中为自然对数底数.
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.
20.解： （1）∵，
①当时，，函数在上单调递增；……………2分
②当时，由得，
∴时，，单调递减；时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． …………………6分
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
∴不可能恒成立；…………………………………………………7分
当时，，此时；……………………………………………8分
当时，由函数对任意都成立，得，
∵，∴ ∴， ……10分
设，∴ ，
由于，令，得，，
当时，，单调递增；时，，单调递减．
∴，即的最大值为，此时． ………………12分
21．自2020年以来，由于新冠疫情，网络教学已成为前期学生获取知识的主要途径，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（结果保留1位小数）
21．解：（1）因为时，，代入关系式，
得，解得．………………………………………2分
（2）由（1）可知，套题每日的销售量，
所以每日销售套题所获得的利润
…………………………………………………6分
从而．
令，得，且在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，
所以当时，函数取得最大值．………………………………………10分
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．…………………12分
22．已知函数f(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．
22.(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋(2a－1)＝－，
若a≤0，则f′(x)<0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值；…………………2分
若a>0，则由f′(x)＝0，解得x＝a，
当00，当x>a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，
∴当x＝a时，函数f(x)的极大值为f(a)＝a(ln a＋a－1)，无极小值．………………6分
(2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去．…………………………………………………………………………………7分
当a>0时，函数f(x)的极大值为f(a)＝a(ln a＋a－1)，……………………………8分
令g(x)＝ln x＋x－1(x>0)，
则g′(x)＝＋1>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，∴当01时，g(x)>0.
(ⅰ)当0(ⅱ)当a>1时，f(a)＝ag(a)>0，
∵f＝a－－<0，
∴函数f(x)在内有一个零点，
f(3a－1)＝aln(3a－1)－(3a－1)2＋(2a－1)(3a－1)＝a[ln(3a－1)－(3a－1)]，
设h(x)＝ln x－x(x>2)，
则h′(x)＝－1<0，∴h(x)在(2，＋∞)上单调递减，
则h(3a－1)∴函数f(x)在(a，3a－1)内有一个零点，则当a>1时，函数f(x)恰有两个零点．…12分
综上，函数f(x)有两个不同的零点时，实数a的取值范围为(1，＋∞)．