山东省德州实高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

德州实验高中2020级高一下学期期中考试数学试题（2021.05）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若向量＝(3，m)，＝(2，－1)，＝0，则实数m的值为(　　)
A．－　　 B．　　　C．2　　D．6
2．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于(　　)
A．－ B． C．－1 D．1
3.已知向量，，满足=1, = -1,则=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
4．，是非零向量且满足，，则与的夹角θ是 (　)
A． B． C． D．
5．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则cos 2θ的值等于(　　)
A．1　B．－　　　C．　 D．－
6.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y=cos x B.y=2|sin x| C.y=cos D.y=tan x
7.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象(　　)
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
8.已知2tanθ–tan(θ＋)＝7，则tanθ＝（ ）
A. –2 B. –1 C. 1 D. 2
多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，漏选3分)
9.若α为第四象限角，则下列命题不正确的是（ ）
A. cos2α＞0 B. cos2α＜0 C. sin2α＞0 D. sin2α＜0
10．下列计算正确的是(　　)
A．＝1 B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝ D．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝
11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝，则下列结论不正确的是(　　)
A．＝1 B． C．＝1 D．⊥
12.已知函数=2sin xcos x-2sin 2x,给出下列四个选项正确的有(　　)
A.函数的最小正周期是π
B.函数在区间上是减函数
C.函数的图象关于点对称
D.函数的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位得到
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ＝，则的值是____.
14.tan255°=______
15.设，为单位向量，且，则______________.
16.已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；
=_________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)已知向量，．
（1）求向量与的夹角；
（2）若，且，求m的值
18．(本小题满分12分)
已知向量＝，＝(cosx，－1)．
(1)当∥时，求2cos 2x－sin 2x的值；
(2)求f(x)＝在上的最大值．
19.(本小题满分12分)
已知 sin α= , α∈.
(1)求 sin 的值;
(2)若 tan β= ,求tan(2α-β) 的值.
20.(本小题满分12分)
已知向量=,=(cosx,cos2x),函数=
(1)求函数的最小正周期及单调增区间.
(2)将函数y=的图象向左平移个单位,得到函数y=的图象,求在上的值域.
21.(本小题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点A.
(1)若点B,求cos(α+β)的值:
(2)若·=,求sinβ.
22.(本小题满分12分)
已知函数=Asin (ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的一系列对应值如表:
x -





y -2
4
-2
4
(1)根据表格提供的数据求函数的解析式.
(2)求函数的单调递增区间和对称中心.
(3)当x∈时,方程=m+1恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
德州实验高中高一期中考试数学试题答案
一、单项选择题：DDBB CBAD
1．[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
2．[tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°
＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]
3.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
4．[因为a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以a2＝b2＝2a·b，|a|＝|b|，
所以cos θ＝＝＝，所以θ＝.]
5．[依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，因小正方形的面积是，即(cos θ－sin θ)2＝，得cos θ＝，sin θ＝.即cos 2θ=cos2θ-sin2θ＝.]
6.对于A,y=cos x的最小正周期为2π,所以A不符合题意;
对于B,结合函数图象可知y=2的最小正周期为π,在上单调递减,所以B符合题意;
对于C,y=cos 的最小正周期为4π,所以C不符合题意;
对于D,y=tan x的最小正周期为π,在区间上单调递增,所以D不符合题意.
7.y=sin 3x+cos 3x=sin=sin.
又y=cos 3x=sin=sin.
所以应向右平移个单位.
8.，，
令，则，整理得，解得，即.
多项选择题：9.ABC 10.ACD 11.ABC 12.AB
9.方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误；
10．[对于选项A，＝tan 45°＝1；对于选项B,1－2sin275°＝cos 150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝＝cos＝；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.]
11．[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.]
12.因为f=2sin xcos x-2sin 2x+1-1=sin 2x+cos 2x-1=sin-1,
对A,因为ω=2,所以f的最小正周期T=π,结论正确.
对B,当x∈时,2x+∈,则f在上是减函数,结论正确.
对C,因为f=-1,得到函数f图象的一个对称中心为,结论不正确.
对D,函数f的图象可由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到,结论不正确.
三、填空题：13. 14. 15. 16.(1). (2).
13.
14.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=
15.因为为单位向量，所以
所以
解得：,所以
16.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此.
四、解答题：
17. 解：（1）根据题意，，，
则，………………2分
，，………………4分
设向量与的夹角为θ，则，………5分
又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为………………6分
（2）根据题意，，，则，
若，则，
又由，则有（﹣4）×3+3m＝0，………………9分
解可得m＝4．………………10分
18.解：(1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0，所以tan x＝－，………………2分
2cos2x－sin 2x＝＝＝.………………5分
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin.………………8分
因为－≤x≤0，所以－≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤，………………11分
所以f(x)max＝.………………12分
19.解：(1)因为 sin α=,α∈,
所以 cos α===,………………2分
所以 sin =sin αcos +cos αsin =×+×=.………5分
由(1) tan α= 得 tan 2α===,………………8分
所以 tan(2α-β)===.………………12分
20.解：(1)f(x)=sin xcos x-cos 2x
= sin 2x-cos 2x = sin ,………………4分
所以f(x)的最小正周期 T==π,由 -+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,
所以增区间为k∈Z.………………6分
(2)由(1)得f(x)=sin
将函数 y=f(x) 的图象向左平移 个单位得到 y=sin=sin的图象,………………9分
因此 g(x)=sin,又 x∈,所以 2x+∈,
sin∈,故 g(x) 在上的值域为.………………12分
21.解：(1)因为α是锐角,且A,B,在单位圆上,
所以sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,………………3分
所以cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.………………5分
(2)因为·=,
所以||·||cos (β-α)=,
且==1,所以,cos (β-α)=,………………8分
可得:sin (β-α)=(β>α),且cos α=,sin α=,………………9分
所以sin β=sin [α+(β-α)]
=sin αcos (β-α)+cos αsin (β-α)
=×+×=.………………12分
22.解：(1)设 f(x) 的最小正周期为 T,
得 T=-=2π,由 T= 得 ω=1,………………1分
又 解得 ………………3分
令 ω·+φ=2kπ+(k∈Z ),
即 +φ=2kπ+ (k∈Z),解得 φ=-,………………5分
所以 f(x)=3sin (x-)+1.………………6分
(2)2kπ-≤x-≤2kπ+ (k∈Z),
所以 f(x) 单调递增区间为(k∈Z) …………8分
令x-=kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).………………10分
(3)方程 f(x)=m+1 可化为 m=3sin,
因为 x∈,所以 x-∈,由正弦函数图象可知,实数 m 的取值范围是.………………12分
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