天津市天津一中2021届高三下学期第五次月考（5月）数学试题 PDF版含答案

天津 一中 2020-2021 届高 三年 级第 五次 月考 数学 试卷
一、 选择 题：
x
1．已 知集 合A??x?Z x ?5?，B ??x 2 ?4?，则A B? ? （ ）
A．? ?2, 5 B．?2, 5? C ．? ?2, 3, 4 D ．? ?1 2, 3, 4，
2．设? ?, 是两 个不 同平 面， 直线m??，直 线n??，则 下列 结论 正确 的是 （ ）
A．m??是m n? 的充 分条 件 B．m n/ / 是? ?/ / 的必 要条 件
C．m??是m n? 的必 要条 件 D ．m n? 是? ?? 的必 要条 件
2
cosx x?
3.函数 f x? ?? x x? 的图 象大 致是 （ ）
e e?
A. B. C. D.
4．学 校为 了调 查学 生在 课外 读物 方面 的支 出情 况， 抽取 了一 个容 量为n的样 本， 其频 率
直方 图如 图所 示， 其中 支出 (单位 ：元 )在 [50， 60] 内的 学生 有 30 人， 则n的值 为
（ ）
A． 900 B． 1 000 C． 90 D． 100
5．已 知a? ?0.2
log 23 ，b?ln 2，c?0 .5 ，则a b c, , 的大 小关 系为 （ ）
A．a c b? ? B．a b c? ? C ．b c a? ? D ．c a b? ?
6.已知 三棱 锥P?ABC 中，PA ABC?平面 ，?ABC是边 长为 3 的等 边三 角形 ，若 此三
32
棱锥 外接 球的 体积 为 ?，那 么三 棱锥P?ABC 的体 积为 （ ）
3
9 3 3 3 9 3 3 3
A． B． C ． D ．
4 4 2 2
2
2 2
x y
7.已知 双曲 线M : 2 ? 2 ?1?a?0,b?0?，VABC为等 边三 角形 . 若点A在 y轴上 ，点B C,
a b
在双 曲线M 上， 且双 曲线M 的实 轴为VABC 的中 位线 ，双 曲线M 的左 焦点 为F ，经 过F
2
和抛 物线x y?1 6 焦点 的直 线平 行于 双曲 线的 一条 渐近 线， 则双 曲线 的方 程为
（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y
A． ? ?1 B． ? ?1 C ． ? ?1 D ． ? ?1
4 4 8 8 4 8 8 4
? ??
8．已 知函 数 f x x? ? ? ?? ? ? ?s i n ? ? ? ?? 0, | | ?，其 图像 相邻 两条 对称 轴之 间的 距离 为
? 2 ?
? ?
，且 直线x?? 是其 中一 条对 称轴 ，则 下列 结论 正确 的是 （ ）
4 12
? ? ??
A．函 数 f x? ?的最 小正 周期 为? B．函 数 f x? ?在区 间?? , ?上单 调递 增
? 6 12?
? 5? ?
C．点?? ,0?是函 f x? ?图象 的一 个对 称中 心
? 24 ?
D．将 函数 f x? ?图象 上所 有点 的横 坐标 伸长 为原 来的 2 倍， 纵坐 标不 变， 再把 得到 的图
?
象向 左平 移 个单 位长 度， 可得 到g x x? ??sin 2 的图 象
6
2
??2x ?2x,x?1
?
9.已知 函数 f(x)??1 ，若 对任 意x R? ， f x x k x( ) | 2 | | 1 | 0? ? ? ? ? 恒成
? ?1, x?1
?x
立， 则实 数k的取 值范 围是 （ ）
1 1 1
A．(??, ]?[1,??) B．(??, ]?[ ,??)
2 4 2
1 1
C．(??, ]?[ ,??) D．( , 1] [ 2, )?? ???
8 4
二、 填空 题：
2
(1?i)
10．若 复数z ? ，则z ?______ ____ ．
3?4i
1 3 5
11．二 项式( ?2 x) 的展 开式 中的 常数 项为 _____ ___ ．
x
3
1 1
12.已知a b? ?0, 0，且a b+ 1? ，则 ? ?ab的最 小值 为_____ ____ ．
a b
x
13.若函 数 f x e x( )? ? 图像 在点( , ( ))x f x0 0 处的 切线 方程 为y kx b? ? ，则k b? 的最 小
值为 _ ___ ．
14.天津 是一 个古 老与 现代 、保 守与 开放 相融 合的 城市 ，历 经 600 多年 ，特 别是 近代 造就
了中 西合 璧、 古今 兼容 的独 特城 市风 貌， 成为 国内 外游 客首 选的 旅游 圣地 。2021 年元 月
份以 来， 来天 津游 览的 游客 络绎 不绝 ，现 通过 对来 津游 客问 卷调 查， 发现 每位 游客 选择 继
2 1
续游 玩的 概率 都是 ，不 游玩 的概 率都 是 ，若 不游 玩记 1 分， 继续 游玩 记 2 分， 游客 之
3 3
间选 择意 愿相 互独 立， 从游 客中 随机 抽取 3 人， 记总 得分 为随 机变 量X ，则X 的数 学期
望E X（ ）=_____ __．
15．如 图， 在?A B C 和?AEF中，B是EF 的中 点，AB EF? ?2，CA CB? ?3，
???? ????
若点H为C A上的 动点 ，则EH FH? 的最 小值 为
???? ???? ???? ???? ???? ????
若AB AE AC AF? ? ? ?7，则 ?B CE F 等于 _____ _.
三、 解答 题：
16.已知?A B C 中， 角 c 的对 边分 别为a b c, , ， 3 cos 2 sin sin 0b C c C B? ?
（1 ）求 角C；
（2 ）若c ?2 3，S?ABC ? 3，求a b? 的值 .
4 ?
（3 ）若c ?2 3，a ? ，求sin(2A? ).
3 3
4
17．如 图， 已知 平面BCE ?平面ABC，直 线DA?平面
ABC，且DA AB AC? ? .
（1 ）求 证：DA//平面EBC；
?
（2 ）若?BAC? ，DE ?平面BCE
3
（ⅰ ）求 二面 角A BD E? ? 的余 弦值 ；
（ⅱ ）在直线CE （除C E、 两点 外） 上是 否存 在一 点M，使 得
2 5 CM
直线AM 与平 面BDE所成 角的 余弦 值为 ，若 存在 ，则 求 的值 ；如 不存 在， 请说
5 CE
明理 由.
18．设 等差 数列? ?an 的前n项和 为Sn，且 等比 数列? ?bn 的前n项和 为Tn，满 足
a b1 1 ?2，S2 ?6，S3 ?12，b b1 2? ?3.
（1 ）求? ?an ，? ?bn 的通 项公 式；
*
（2 ）求 满足 条件 的最 小正 整数k，使 得对? ? ?n k n N( )不等 式T Sn n+1? 恒成 立；
? bn ,n为奇数
??（bn+1)(bn?2+1)
（3 ）对 任意 的正 整数n，设cn ?? ，求 数列{ }cn 的前2n项和 .
?an ,n为偶数
??bn
5
2 2
x y 1
19．已 知椭 圆C： 2 ? 2 ?1? ?a b? ?0 的离 心率 为 ，以 椭圆 中心 为圆 心， 长半 轴长
a b 2
为半 径的 圆被 直线3 4 5 0x y? ? ? 截得 的弦 长为2 3
（1 ）求 椭圆C的方 程；
（2 ）椭 圆C的左 顶点 为A，右 顶点 为B，右 焦点F ， M 是椭 圆位 于x轴上 方部 分的 一
个动 点， 以点F 为圆 心， 过点M 的圆 与x轴相 交， 交点T 在F 右边 ，过 点B作x轴的 垂
|BE|
线l交直 线AM 于点N ，过 点F 作直 线FE MT? ，交 直线l于点E，判 断 是否 为
|EN|
定值 ，并 给出 证明 。
x?1
20. 已知 函数 f x xe a x x? ? ? ?? ? ?ln ，a R? .
（1 ）当a?1时， 求函 数 f x? ?的单 调区 间；
（2 ）若 f x? ?存在 极小 值， 求实 数a的取 值范 围；
2 3
（3 ）设x0是 f x? ?的极 小值 点， 且 f x? ?0 ?0，证 明： f x x x? ?0 ? ?2? ?0 0 .
6
参考 答案 ：
1．C 2．A 3.A 4． D
5．B 6.D 7.B 8． C
8+6i 17
9.B 10．z ? 11．-80 12.
25 4
1 23
13.? ?1 14.5 15． 2
e 9
16.
解：（1）由3 cos 2 sin sin 0b C c C B? ? 及正弦定理得：
3 sin cos 2 sin sin sin 0B C C C B? ? ，
2 2
即si n 3 cos 2 si n si n 2 cos 3 cos 2 0B C C B C C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ，
?B?? ?0,? 2
，? ?si n 0B ，? ? ? ?2 co s 3 co s 2 0C C ，
1 2?
解得：cosC ?? 或co s 2C ? （舍），又C?? ?0,? ，?C ? ；
2 3
1 1 2? 3
（2）?S?ABC ? absinC ? absin ? ab? 3，? ?ab 4；
2 2 3 4
2 2 2 2 2
由余弦定理得：c a b ab C a b ab a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 cos ? ? ? ? 4 12 ，
解得：a b? ?4.
a 1
（3）由正弦定理可得sinA= sinC=
c 3
2 2
A为锐角，cosA= 3
7
2 7
cos2A=1-2sin A? 9
4 2
sin2A=2sinAcosA? 9
? 4 2+7 3
sin(2A? )=
3 18
17．
（1）证明：过点E作EH BC? 于点H ，
因为平面BCE ?平面ABC，又平面BC E?平面ABC BC? ，E H ?平面BCE，
所以E H ?平面ABC，
又因为DA?平面ABC，所以A D E H/ / ，
因为E H ?平面BCE，D A?平面BCE，所以DA//平面EBC；
?
（2）因为DE?平面BEC，所以?DEB ??DEC ? ，
2
由AB AC? 可知DB DC? ，D E D E? ，△ △DEB DEC? ，则BE CE? ，
所以点H 是BC的中点，连接AH ，则AH BC? ，
所以A H ?平面EBC，则DE AH// ，AH EH? ，所以四边形D A H E 是矩形.
以H 为坐标原点，分别以H B、H A、HE所在直线为
x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设DA a?2 ，则E a? ?0, 0, 2 、A?0, 3a,0?、
8
B a? ?, 0, 0 、D?0, 3a,2a?.
??
设平面ABD的一个法向量为m x y z?? ?1 1 1, , ，
???? ????
又AB ??a,? 3a,0?，AD a?? ?0, 0, 2 .
????
??
m AB? ?0 ??ax1? 3ay1 ?0 ??
由?? ???? ，得? ，取y1 ?1，得m?? 3,1,0?.
?m AD? ?0 ??2az1 ?0
?
设平面BDE的一个法向量为n x y z?? ?2 2 2, , ，
???? ????
因为BD ???a, 3a,2a?，BE a a? ?? ?, 0, 2 .
????
??
n BD? ?0 ??ax2 ? 3ay2 ?2az2 ?0 ?
由?? ???? ，得? ，取z2 ?1，得n?? ?2, 0, 1 ；
?n BE? ?0 ??ax2 ?2az2 ?0
?? ?
?? ? m?n 15
设二面角A BD E? ? 的平面角为?，则 cos?? cos?m,n? ? ?? ? ? ，
m ? n 5
15
由题知二面角A BD E? ? 是钝角，则二面角A BD E? ? 的余弦值为? .
5
?????
CM
（3）设 ???? =?（??0，??1）
CE
????? ????? ???? ???? ????
AM=CM?CA??CE?CA?(??1,? 3,2?)
设直线AM 与平面BCE所成角为?
?????? 5
则sin??cos?AM，n?? 5
（舍 或 14
?=0 ) ?=11
CM 14
所以 =
CE 11
9
18．
解：（1）设? ?an 的公差为d ，? ?bn 的公比为q.
? 2 6,a d1? ?
由S2 ?6，S3 ?12得：??3 3 12.a d1? ?
?a1 ?2,
解得：??d ?2.
所以a n nn ? ? ? ?2 2 1 2? ? .
? 2 2,b1 ?
又由a b1 1 ?2，b b1 2? ?3得：?
?b q1? ?1 3.? ?
?b1 ?1,
解得?
?q?2.
n?1
所以bn ?2 .
n 2
（2）T S n nn n+1 2? ? ? ?
当n=1时，T Sn n+1=
当2 4? ?n 时，T Sn n+1<
n 0 1 2 2 2
当n?5时，2 2 C ) 2? ? ? ? ? ? ? ?（ n n nC C n n n n
所以，满足条件的最小正整数k= 5
10
2n?2
2 1 1 1
（3）c2n-1 ? 2n?2 2n = （ 2n?2 - 2n ）
(2 ?1)(2 ?1) 3 2 ?1 2 ?1
1 1 1
c1+c3?c5 ???c2n?1 ? ( ? n )
3 2 4 ?1
1 n
c2n ?8n( )
4
1 1 2 1 n
c2+c4 ?c6 ???c2n ?8?（ ）+16（ ）+?+8n?（ ）（1)
4 4 4
1 1
（ ） （ ）2 1
（ ）3 1
（ ）n+（1
c2+c4 ?c6 ???c2n ?8? +16 +?+8n? 2）
4 4 4 4
由（1）-(2)可得：
32 32 128 1 n?1
c2+c4 ?c6 ???c2n ? ?( n? )?( )
9 3 9 4
设{ }cn 的前2n项和为
1 1 1 32 32 128 1 n?1 67 8 32 1 n 1 1
M2n ? ( ? n )+ ?( n? )?( ) = ?( n? )?( ) ? ? n
3 2 4 ?1 9 3 9 4 18 3 9 4 3 4 ?1
19．
2
b 3 2 2 2
解：（1） 2 = ，a ?dO?l ?( 3)
a 4
2 2
x y
解得a?2，∴椭圆C的方程为： ? ?1．
4 3
（2）解法一：设直线AM的方程为y k x? ?( 2)
?y ?k(x?2)
? 2 2
?
联立 x y
? ? ?1
? 4 3
2 2 2 2
可得（4 3) 16 16 12 0k x k x k? ? ? ? ?
11
2
16k ?12
由xAxM ? 2 ，
4k ?3
2
6?8k 12k
可得M( 2 , 2 )（k ?0)
4k ?3 4k ?3
2
以F 2 2 12k ?3 2
为圆心，| |FM 为半径的圆为(x?1) ? y ?( 2 )
4k ?3
2
? 2 2 12k ?3 2
?(x?1) ? y ?( )
联立 2
? 4k ?3
?
?y ?0
2
16k ?6
可得T（ 2 ,0)
4k ?3
线段MT 的中垂线为：y k x? ?2 ( 1)
?y k x? ?2 ( 1)
? E k( 2, 2 )
?x?2
?y k x? ( +2)
又? N ( 2, 4 )k
?x?2
所以E为线段BN 中点
BE ?1
EN
解法二：由题意可知A? ??2, 0 ，B? ?2, 0 ，F? ?1, 0 ，设M 的坐标为? ?x y0 0, ，则
y0 ?0，
? 2
2 x0 ?
∵点M 在椭圆C上，∴y0 ?3?1? ?，
? 4 ?
2 2
2 2 x ?x ? x
∴ 0 0 0
FM ? ?x0?1? ?y0 ? ?2x0?4? ? ?2? ?2 ，
4 ? 2 ? 2
x0
∵点M 在椭圆C上，∴? ? ?2 2x0 ，∴ ?2? 0 ，
2
12
x0
∴ FM ?2? ，∵圆F 过点M 与点T ，
2
x0 ? x0 ?
∴ FM ? FT ? 2? ，∴点T?3? ,0?，
2 ? 2 ?
y0
易求直线l的方程为x?2，直线AM 的方程为y ? ?x?2?，
x0 ?2
4y0
将xN ?2代入直线AM 的方程得：yN ? ，
x0?2
? 4y0 ?
故点N 的坐标为?2, ?，
? x0 ?2?
y0 ?0 2y0
? x0 ? kMT ? ?
∵M x y? ?0 0, ，T?3? ,0?，∴ ? x0 ? 3?x0 ?2?，
? 2 ? x0 ??3? ?
? 2 ?
3 2? ??x0 3 2? ??x0
∵E F M T? ，∴kE F ? ，∴直线EF 的方程为：y ? ? ?x?1 ，
2y0 2y0
3 2? ??x0 ? ?3 2? ??x0
将xE ?2代入得：yE ? ，∴点E? ?2,
2y0 ? ?2y0
3?2?x0?
又∵B? ?2, 0 ，∴ BE ? yE ? ，
2y0
2 2 2 2
3?2?x0? 4y
? ? 0 3 4 8? ?? ?x y0 0 3 4 6 4? ? ? ?? ? ?x x0 0
EN yE yN ? ? ? ?
2y0 x0 ?2 2 2y x0 0? ?? 2 2y x0 0? ??
2
3 4? ??x0 3 2? ??x0
? ? ，
2 2y x0 0? ?? 3y0
3?2?x0?
BE 2y0
∴ ? ?1．
EN 3?2?x0?
2y0
13
20.
x?1
解：（1）当a?1时， f x xe x x? ?? ? ?ln ， f x? ?的定义域是? ?0,?? ，
x?1 ? ?1 1x? x?1
f x?? ? ? ?? ? ? ? ? ?x e1 1? ? ? ?xe 1 ，
? ?x x
x?1 x?1
令g x xe? ?? ?1，g x x e?? ? ? ?? ? ?1 0，g x? ?在? ?0,?? 递增，
而g? ?1 0? ，即 f?? ?1 0? ，
当x?? ?0, 1 时， f x?? ??0；当x? ? ?? ?1, 时， f x?? ??0，
因此，当a?1时，函数 f x? ?的单调递减区间为? ?0,1 ；
x?1
（2）?函数 f x xe a x x? ? ? ?? ? ?ln ，a R? ，该函数的定义域为? ?0,?? ，
x?1 x?1
? ? ?f x x e a?? ? ? ?，
x
x?1 x?1
令g x xe a? ?? ? ，则g x x e?? ? ? ?? ? ?1 0，?g x? ?在? ?0,?? 上是增函数.
①当a?0时，g x g a? ? ? ?? ? ? ?0 0， f x?? ??0，函数 f x? ?在区间? ?0,?? 上是增函
数，不存在极值点；
x x x
②先证不等式e x? ，构造函数t x e x? ?? ? ，则t x e?? ?? ?1.
?
当x?0时，t x?? ??0，函数t x? ?单调递增；当x?0时，t x? ??0，函数t x? ?单调递
减.
所以，t x t? ? ? ?? ? ?0 1 0 x
，所以，对任意的x?R，e x? .
a a?
当 e 1
a?0时，e ? ?1 0，则e ?1，
a a ea?1 a
?g a? ?? ?00 ，g e e e a e a? ?? ? ? ? ?0，
14
a
由零点存在定理可知，存在x e0?? ?0, ，使g x? ?0 ?0.
?当x x?? ?0, 0 时，g x? ??0， f x?? ??0， f x? ?单调递减；
当x x? ??? ?0, 时，g x? ??0， f x?? ??0， f x? ?单调递增.
此时，函数 f x? ?存在极小值点.
综上可知实数a的取值范围是? ?0,?? ；
x0?1 x0?1
（3）由（1）知x e a0 ? ?0，即a x e? 0 ，? ? ? ?ln ln 1a x x0 0 ，
x
? ? ? ?0?1
f x x e x x? ? ?0 0 1 l n0 0?，
由 f x? ?0 ?0，得1 ln 0? ? ?x x0 0 .
令g x x x? ?? ? ?1 ln ，由题意g x? ?在区间? ?0,?? 上单调递减.
又g? ?1 0? ，由 f x? ?0 ?0，得0 1? ?x0 ，
1 1x?
令H x x x x? ?? ? ? ?ln 1 0? ?，则H x?? ?? ? ?1 ，
x x
当x?1时，H x?? ??0，函数H x? ?单调递增；
当0 1? ?x 时，H x?? ??0，函数H x? ?单调递减.
所以，当x?1时，函数H x? ?取最小值H? ?1 0? ，
?H x ?
? ? ? ? ? ?x xl n 1 0 x 1
，即x x? ?1 ln ，即e x? ，
x0?1
e x?? ?0 0，1 ln 1 1 2 1 0? ? ? ? ? ? ? ?x x x x0 0 0 0? ? ? ? ?x0 ，
x0?1 2 2 3
? ? ? ? ? ? ? ? ?f x x e x x x x x x? ? ? ? ? ?0 0 1 ln 2 1 20 0 0 0 0 0? ?
，故结论成立.
15