人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷
一、本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在空间直角坐标系中，向量
，
，则向量
（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.已知
且
，则
的值为（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
3.已知向量
，
，则
等于（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为
，平面
的法向量为
，则（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?
或
?????????????????????????????D.?l与
斜交
5.正方体
的棱长为2，
是
的中点，则点
到平面
的距离为（????
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
(???
)
A.?2??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?4
7.在矩形
中，
，
，
平面
，
，则
与平面
所成角是（??
）．
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
8.如图所示，在三棱柱
中，
底面
，
，
，点
、
分别是棱
、
的中点，则直线
和
所成的角为（???
）
A.?120°?????????????????????????????????????B.?150°?????????????????????????????????????C.?30°?????????????????????????????????????D.?60°
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.给出下列命题，其中错误的有（?
?）
A.?若空间向量
、
、
，满足
，
，则
B.?若空间向量
、
、
，满足
，
，则
C.?在空间中，一个基底就是一个基向量
D.?任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底
10.以下命题正确的是（???
）
A.?若
是平面
的一个法向量，直线
上有不同的两点
，
，则
的充要条件是
B.?已知
，
，
三点不共线，对于空间任意一点
，若
，则
，
，
，
四点共面
C.?已知
，
，若
与
垂直，则
D.?已知
的顶点坐标分别为
，
，
，则
边上的高
的长为
11.在直三棱柱
中，
，
，
分别是
的中点，
在线段
上，则下面说法中正确的有（???
）
A.?
平面
B.?若
是
上的中点，则
C.?直线
与平面
所成角的正弦值为
D.?直线
与直线
所成角最小时，线段
长为
12.已知正方体
的棱长为
，
为棱
上的动点，下列说法正确的是（???
）
A.?
B.?二面角
的大小为
C.?三棱锥
的体积为定值
D.?若
平面
，则直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（4题，每题5分，共20分）
13.在空间直角坐标系
中，点
关于
轴的对称点坐标是________.
14.已知
={3λ,6,
λ+6},
={λ+1,3,2λ},若
∥
,则λ=________.
15.如图,在三棱柱
中,所有棱长均为1,且
底面
,则点
到平面
的距离为________.
16.如图,在长方体
中,点
分别是棱
,
上的动点,
,直线
与平面
所成的角为
,则△
的面积的最小值是________.
四、解答题（6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在棱长为4的正方体
中，
分别是
和
的中点．
（1）求点
到平面
的距离；
（2）求
与平面
所成的角的余弦值．
18.如图,在棱长为2的正方体
中,
为
的中点.
（1）求
的长；
（2）求异面直线
与
所成的角的余弦值.
19.如图，四棱锥
中，二面角
为直二面角，
为线段
的中点，
，
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小.
20.如图，四棱锥
中，平面
平面
是直角梯形，
，
是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
21.如图矩形
中，
；
分别为
的中点，沿
将点
折起至点
，连接
.
（1）当
时，（如图1），求二面角
的大小；
（2）当二面角
等于
时（如图2），求
与平面
所成角的正弦值.
22.如图,在四棱锥
中,
底面
,
,
,
,
,点
为棱
的中点.
（1）证明:
;
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值;
（3）若
为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
解：由题意
．
故答案为：A．
2.【答案】
C
解：由已知
，解得
．
故答案为：C．
3.【答案】
C
解：
故
故答案为：C
4.【答案】
C
解：直线l的方向向量为
，平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，
所以
或
，
故答案为：C.
5.【答案】
B
解：如图，利用等体积法，
，设点
到平面
的距离为d，
正方体
的棱长为2，故
，如图，
，即
，
又点
到平面
的距离，即
到平面
的距离，为CD=2，
，
由
得，
，故
.
故答案为：B.
6.【答案】
D
解：因为
，所以
，解之得
，
故答案为：D
7.【答案】
A
解：建立如图所示的空间直角坐标系,
则
，
易知平面
的一个法向量为
,
，
与平面
所成的角为
，
故答案为：A.
8.【答案】
D
解：以
为原点。
分别为
轴建立空间直角坐标系：
令
，
则
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
所以直线
和
所成的角为
.
故答案为：D
二、多选题
9.【答案】
A,C,D
解：对于A选项，若
，对于非零向量
、
，则
，
，但
与
不一定共线，A选项错误；
对于B选项，对于空间向量
、
、
，满足
，
，则
，B选项正确；
对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；
对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.
故答案为：ACD.
10.【答案】
B,C,D
解：对于A，若直线
，则
成立，故
不是
的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若
，则
，
所以
，所以
，
，
，
四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得
，
，
若
与
垂直，则
，解得
，
C符合题意；
对于D，由题意
，
，
则
,
,
所以
,
所以
边上的高
,D符合题意.
故答案为：BCD.
11.【答案】
A,C,D
解：由题意可得
，
，
，
，
，
，
，设
，
，
，
直三棱柱
中，
，
可得
为平面
的一个法向量，
为平面
的一个法向量，
对于A，
，
，
即
，又
平面
，所以
平面
，A符合题意；
对于B，若
是
上的中点，则
，
所以
，所以
与
不垂直，B不正确；
对于C，由
为平面
的一个法向量，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，C符合题意；
对于D，设
，
则
，
?
当
时，即
时，
取最大值，
即直线
与直线
所成角最小，此时
，
，D符合题意.
故答案为：ACD
12.【答案】
A,C
解：以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系.
则
、
、
、
、
、
、
、
，设点
，其中
.
对于A选项，
，
，则
，
所以，
，A选项正确；
对于B选项，设平面
的法向量为
，
，
，
由
，取
，可得
，则
，
设平面
的法向量为
，
，
由
，取
，则
，所以，
，
，所以，二面角
的大小不是
，B选项错误；
对于C选项，
，
平面
，
平面
，
平面
，
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
而点
到平面
的距离为
，即三棱锥
的高为
，
因此，
，C选项正确；
对于D选项，
平面
，则
为平面
的一个法向量，且
，
又
，
，
所以，直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
，D选项错误.
故答案为：AC.
三、填空题
13.【答案】
（1,1，-1）
解：点
关于
轴的对称点坐标是（1,1，-1）.
故答案为：（1,1，-1）
14.【答案】
2
解：因为
∥
，则
，解得
．
15.【答案】
解：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则则
设平面的一个法向量为
，
则有
，
解得
，
则所求距离为.
故答案为：
16.【答案】
8
解：以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0），
设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．
，
设平面PQC′的一个法向量为
则
，
，令z=1，得
，
，
，
，解得ab≥8(当且仅当
时等号成立)，
∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2
，
∵VC′-PQC=VC-PQC′
，
，从而求出
△
的面积的最小值为8。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：如图所示，以点
为原点建立空间直角坐标系
，
依题意，得
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
则
，即
，
由此取
，可得平面
的一个法向量为
，
又由
所以点
到平面
的距离为
（2）解：设
与平面
所成角为
，则
，
且
，
所以
与平面
所成角的余弦值为
18.【答案】
（1）以
,
,
的正方向分别为
轴?
轴?
轴的正方向建立空间直角坐标系,
则
,
,可得
,
所以
的长为3.
（2）由(1)的坐标系,可得
,
,
,
,
所以
,
,
设异面直线
与
所成的角为
,
所以
,
即异面直线
与
所成的角的余弦值
.
19.【答案】
（1）证明
二面角
为直二面角，
所以平面
平面
，
因为
，
，
平面
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
，
，
，
，
又
为
的中点，
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
（2）解：如图，
连接
，在平面
内作
的垂线，建立空间直角坐标系
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
即
令
，则
，
，
是平面
的一个法向量，
平面
，
平面
的一个法向量为
，
，
由图可知二面角
的平面角为锐角，
故二面角
的大小为
.
20.【答案】
（1）证明：取
中点F，连接
，
∵
是
的中点，
，
，
∴
∥
∥
，
∴四边形
为平行四边形，
，
平面
平面
（2）解：取
中点
，
∵平面
平面
平面
，
建立如图所示空间直角坐标系
，则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
得
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
?
21.【答案】
（1）解：取
中点
，连接
，
因为
，
所以
，因为
是
的中点，所以
，
因为
，
所以
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
就是二面角
的平面角，
因为
，所以
正三角形，可得
，
又因为等腰
中
，所以
，所以
，
可得
，
所以二面角
的大小为
（2）解：由于沿
将点
折起至点
，
所以点
在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，
因为
，所以四边形
是矩形，
所以
三点共线，二面角
等于
，所以
，
因为
，所以
正三角形，可得
，
以
为原点，分别以
为
轴，
轴，与它们都垂直于的直线为
轴.
建立空间直角坐标系如图所示：
所以
，
，
，
，
，
，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
，
令
可得
，
，所以
，
.
所以
与平面
所成角的正弦值为
22.【答案】
（1）依据题意,以点
为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得
.
由
为棱
的中点,得
.
证明:向量
,
故
.所以
（2）向量
.
设
为平面
的法向量,
则
即
不妨令
,可得
为平面
的一个法向量.
于是有
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）向量
.
由点
在棱
上,设
.
故
.
由
,得
,因此,
,解得
,
则
.设
为平面
的法向量,
则
即
不妨令
,可得
为平面
的一个法向量.
取平面
的一个法向量
,则
.
易知,二面角
是锐角,所以其余弦值为
.
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