第2章
一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
学
习
任
务
核
心
素
养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1.借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养．2.
通过比较大小，培养逻辑推理素养.
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100.
知识点1 基本事实
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a
依据
a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．( )
(2)若x－2≤0，则x<2.( )
(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a[答案] (1)√ (2)× (3)√
2.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( )
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]
如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)．
(1)正方形的面积为多少？4个直角三角形的面积为多少？由此可以得出一个什么不等式？
(2)如果4个直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点，这时(1)中的不等关系变成了什么关系？
知识点2 重要不等式
一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3.若a，b∈R，且a2＋b2＝1，则ab的最大值为________，此时a＝________.
[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立．]
类型1 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350
km/h的速度，这个速度的2倍再加上100
km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
1．用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于216
m2，靠墙的一边长为x
m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
类型2 比较两数(式)的大小
【例2】 (对接教材P38例题)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝2＋.
∵2≥0，∴2＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
类型3 不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受
7.5
折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．
3．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1
900本科技类书籍和1
620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
[解] 因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，
则
解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，
所以x的取值是18,19,20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.
1．某路段竖立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v
km/h应满足的关系式为( )
A．v<60
B．v>60
C．v≤60
D．v≥36
[答案] C
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(
)
A．a－b＞0
B．a－b＜0
C．a－b≥0
D．a－b≤0
[答案] C
3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120
km/h，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不等式表示为( )
A．v≤120
km/h且d≥10
m
B．v≤120
km/h或d≥10
m
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
A [v的最大值为120
km/h，即v≤120
km/h，车间距d不得小于10
m，即d≥10
m，故选A.]
4．雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5t<28
000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28
000.]
5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示] a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较大小的一般步骤是什么？
[提示] 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．第2课时 等式性质与不等式性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握等式和不等式的基本性质．(重点)2．运用不等式的性质解决有关问题．(难点)
1.通过学习不等式的性质，培养学生数学抽象素养．2．借助不等式的性质解决相关问题，提升数学运算素养.
楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)．
问题：显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗口面积为m，其中m>0)
知识点1 等式的基本性质
(1)性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点2 不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1.在(2)中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递；
2．在(4)中，要特别注意“乘数c”的符号；
3．在(6)中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立；
4．在(7)中，若忽略n∈N，n≥2，则有可能得出错误的结论．
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
[提示] a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立．
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示] 不一定．如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2.
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．( )
(4)当x>－3时，一定有<－.( )
(5)若a>b，则<.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2.若a>b，则下列各式正确的是( )
A．a－2>b－2
B．2－a>2－b
C．－2a>－2b
D．a2>b2
A [∵a>b，∴a－2>b－2，故选A.]
类型1 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，
故B为假命题；
?＞，
故C为假命题；
?ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有＜，故B错．
取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．]
利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有( )
A．|a|>|b|
B．bC．a＋bD．a2BCD [∵<<0，∴b∴|b|>|a|，a＋b故选BCD.]
类型2 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
本例条件不变的情况下，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，即f－ac类型3 不等式性质的应用
【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b.
[解] (1)－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3.
1．(多选)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是( )
A．a＋c＞b＋d
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
[答案] ACD
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C.>1
D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B.]
4．设x>1，－1x>－y>y [∵－1∴x>－y>y.]
5．已知60{x－y|27由28回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等式的性质有哪些？
[提示] (1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
[提示] 不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
3．对不等式变形时，要注意什么？
[提示] 对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
填写下表：
a
b
与的大小关系
1
4
16
2
2
…
…
问题：(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点 基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
(2)变形：①ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式≤成立的条件一样吗？
[提示] 不同，前者为a＝b，后者为a＝b>0.
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
类型1 对基本不等式的理解
【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
AC [∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误；
由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．]
对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－
≤－2＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
② [
①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2 利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)B (2)p>q [(1)法一：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.
法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B.
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
即p>q.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．若0A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
D [法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D.]
类型3 利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“＋＋”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明＋＋>9.
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴
＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
B [由题意可知x－2y>0，∴x>2y.]
2．(多选)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为( )
A.≥ab
B.＋≥2
C．ab≤2
D.2≤
ACD [由a，b∈R，得≥ab，A正确；由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立；ab－2＝－≤0，故C正确；2－＝－≤0，故D正确，故选ACD.]
3．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2
B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋2≤－2
C [A不成立，如a＝－1；B不成立，如a＝－1；D选项显然错误；故选C.]
4．比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
≥ [由于＝＝＋>2.故填≥.]
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是____．(填序号)
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出≤？
[提示] 对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2，即≤.
2．基本不等式≤的常见变形有哪些？
[提示] ①a＋b≥2；②ab≤2.第2章
一元二次函数、方程和不等式
第2课时 基本不等式的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
x＋的最小值是2吗？
[提示] 不一定．如当x<0时，x＋<0.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
1.若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
4 [∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4.
当且仅当x＝时等号成立．]
2.已知0 [∵0当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．]
类型1 利用基本不等式求最值
【例1】 (对接教材P45例题)(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章3.2函数的基本性质求解．
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2
＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
类型2 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解] 法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
类型3 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 (对接教材P46例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36
m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18.由此思考每间虎笼面积xy最值的求法．
[解] 设每间虎笼长x
m，宽y
m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200
m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解] 设隔墙的长度为x(x>0)
m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16
000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为y＝496x＋800＋16
000＝1
296x＋＋16
000
≥2＋16
000
＝28
800＋16
000
＝44
800.
当1
296x＝，即x＝时，等号成立．
这时，污水池的长为18
m.
故当污水池的长为18
m，宽为
m时，总造价最低，最低为44
800元．
1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1
B．2
C．2
D．4
A [由基本不等式得，ab≤2＝1.
当且仅当即a＝b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为1.]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．
B．4
C．
D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝，
当且仅当即时，等号成立．
故y＝＋的最小值为.]
4．若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N
)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5 8 [由题意可知，平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8.
当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示] 一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示] a＋b≥2和ab≤2，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示] 直接法、配凑法、常数代换法等．第2章
一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点)2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)3．理解三个“二次”之间的关系．(重点)
1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养．2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养.
已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0.
问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)问题1中的交点横坐标与问题2中的根有何内在联系？
(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
(5)能否利用问题4得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？
知识点1 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数
1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？
[提示] 可以．
1.已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0.其中一元二次不等式的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [只有③是一元二次不等式，故选A.]
知识点2 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？
[提示] 不是．是图象与x轴交点的横坐标．
2.函数y＝x2－2x－3的零点为________．
－1或3 [由y＝0得x2－2x－3＝0，即x＝－1或x＝3.即函数的零点为－1或3.]
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根，要充分利用这个关系解题．
3.二次函数y＝x2－5x的图象如图所示．
(1)若y>0，则x满足的条件是________；
(2)若y≤0，则x满足的条件是________．
[答案] (1)x<0或x>5 (2)0≤x≤5
4.不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．
? [∵Δ＝9－4×6＝－15<0，
∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为?.]
类型1 一元二次不等式的求解
【例1】 (对接教材P52例题)解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0.
[解] (1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是.
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋.因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.
(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
1．解下列不等式．
(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.
[解] (1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3(3)不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.
因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是.
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，
即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x类型3 三个“二次”的关系
【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2以不等式的解集端点同相应方程根的关系，思考如何建立参数a，b，c同实根2,3的关系，进而解不等式．
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得.
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－21．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D.R
C [3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－.]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A．
B．
C．?
D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A B
C D
B [由题意可知，a<0且－2,1是图象y＝ax2－x－c与x轴交点的横坐标，结合图象可知B正确．]
4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？
[提示] (1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．
2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？
[提示] (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？
[提示] 由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．第2章
一元二次函数、方程和不等式
第2课时 一元二次不等式的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1．通过不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.
类型1 一元二次不等式的实际应用
【例1】 (对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)依题意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0000x2＋2
000x＋20
000(0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当
即解得0所以为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0求解一元二次不等式应用问题的步骤
1．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0类型2 不等式的恒成立问题
【例2】 若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式？其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？
[解] 当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1.
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得
即－综上所述，实数m的取值范围是.
不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解] ①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得
解得11．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A.
B．
C.
D．
D [二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.]
2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≤－4或a≥4
D．a<－4或a>4
A [依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.]
3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
C [由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3
000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3
000≥0，x2＋50x－30
000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C.]
4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
{k|－3(2)当k－1≠0时，由题意可知
解得－3综上可知－35．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2
000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．
4 [设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x，
整理得y＝－20
000x2＋130
000x，
因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，
所以y＝－20
000x2＋130
000x≥200
000，
解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
2．试简述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件．
[提示]
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0第2章
一元二次函数、方程和不等式
微专题1 基本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件：
(1)“一正”——各项为正数；
(2)“二定”——“和”或“积”为定值；
(3)“三相等”——等号一定能取到．
类型1 凑项
【例1】 (1)已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为( )
A．4×
B．6
C．3×
D．3
(2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值．
(1)B [∵a>b>0，∴2a＋＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋.
∵(a＋b)＋≥2＝4，(a－b)＋≥2＝2，
∴2a＋＋≥6，当且仅当a＋b＝2，a－b＝1，即a＝，b＝时等号成立．故选B.]
(2)[解] a＝·≤·＝，当且仅当2a2＝b2＋1，即a＝b＝1时取“＝”，故a的最大值为.
类型2 拆项
【例2】 已知x≥，则有( )
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
D [法一：∵x≥，∴x－2>0，则＝≥×2＝1，等号在x－2＝，即x＝3时取得．
法二：令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1.∴x＝＋2.
将其代入，原函数可化为
y＝＝＝＋≥2＝1，
当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时x＝3.]
类型3 常值的代换
【例3】 (1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于( )
A．10
B．9
C．8
D．7
(2)设a＋b＝2，b>0，求＋取最小值时a的值.
(1)B [＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为9，又因为＋≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9.]
(2)[解] 因为a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝时，等号成立．当a＝时，＋1＝；
当a＝－2时，＋1＝.
所以＋取得最小值时a的值为－2.
类型4 消元代换
【例4】 (1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值；
(2)若实数x，y满足xy＋3x＝3，求＋的最小值．
[解] (1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋>0，解得b>2.所以a＋2b＝5＋＋2≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝2，即b＝2＋时等号成立．所以a＋2b的最小值是5＋2.
(2)∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6
≥2＋6＝8，
当且仅当y＝4，x＝时，等号成立．
所以＋的最小值为8.
类型5 取平方
【例5】 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．
[解] ∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，
即W的最大值为2.第2章
一元二次函数、方程和不等式
类型1 不等式的性质及应用
本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
【例1】 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．AB
D．A>B
(2)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac
B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＜0
(1)B (2)C [(1)∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2
＝2＋b2≥0，故A≥B.
(2)c＜b＜a，ac＜0?a＞0，c＜0.
对于A：?ab＞ac，A正确．
对于B：?c·(b－a)＞0，B正确．
对于C：?cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．
对于D：ac＜0，a－c＞0?ac(a－c)＜0，D正确．故选C.]
1．已知2[解] 因为－2所以1<－b<2，
又因为2所以－6因为－2因为2所以<<2.
类型2 基本不等式及其应用
基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤2和a＋b≥2.其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．
【例2】 (1)已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
(2)设x<－1，求y＝的最大值．
(1) [因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝×2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.]
(2)[解] ∵x<－1，∴x＋1<0.
∴－(x＋1)>0，
∴y＝＝
＝＝(x＋1)＋＋5
＝－＋5
≤－2＋5＝1，
当即x＝－3时，取“＝”．
2．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值是_______，
＋的最小值是________．
2 [∵a＋2b－4＝0，且a>0，b>0，
∴4＝a＋2b≥2，
∴ab≤2.
当且仅当a＝2b即a＝2，b＝1时等号成立．
＋＝×(a＋2b)
＝
≥
＝.
当且仅当＝，即a＝b时等号成立．]
类型3 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
【例3】 (1)若不等式ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(其中a>0)的解集．
[解] (1)将x＝1代入ax2＋3x＋2＝0，可得a＝－5，
所以不等式ax2＋3x＋2>0即为不等式－5x2＋3x＋2>0，可转化为(x－1)(5x＋2)<0，
所以原不等式的解集为，所以b＝－.
(2)不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为.
综上所述，当0当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a>3时，原不等式的解集为.
3．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则a的取值范围为( )
A．－B．－≤a≤1
C．－D．－D [当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，则原不等式可化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，则原不等式可化为2x－1<0不是恒成立，所以a＝－1舍去；
当a2－1≠0时，因为x2－x－1<0的解集为R，
所以只需解得－综上，a的取值范围为－类型4 不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
【例4】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4
000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，
由a2x＝4
000，得a＝.
则S＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4
000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4
160(x>1)．
(2)80＋4
160
≥80×2＋4
160
＝1
600＋4
160＝5
760.
当且仅当2＝，
即x＝2.5时，等号成立，
此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
4．某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带的宽度为x
m(01．(2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝( )
A．{－4,1}
B．{1,5}
C．{3,5}
D．{1,3}
D [由x2－3x－4<0，得－12．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≤2ab
B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥2
D．a2＋b2≤－2ab
B [对于A，显然当a<0，b>0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误；对于B，∵(a＋b)2≥0，∴a2＋b2＋2ab≥0，∴a2＋b2≥－2ab，故B正确；对于C，显然当a<0，b<0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误；对于D，显然当a>0，b>0时，不等式a2＋b2≤－2ab不成立，故D错误．故选B.]
3．(2020·上海春季高考)不等式>3的解集为__________．
[由>3得>0，
则x(1－3x)>0，即x(3x－1)<0，解得04．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．
4 [a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋＝＋＝＋≥2＝4，
当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋时取等号．]
5．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
[法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，
由x2≥0，可得y2∈(0,1]，
则x2＋y2＝＋y2＝＝(4y2＋)
≥·2＝，当且仅当y2＝，x2＝，
可得x2＋y2的最小值为.
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤2＝(x2＋y2)2，
故x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，
可得x2＋y2的最小值为.]