8.1基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案）

8.1基本立体图形
一、单选题
1．如图，在长方体中，，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（
）
A．2
B．
C．
D．4
4．正四面体的棱长为，，分别为，中点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
5．下面给出的命题中，正确的个数是（
）
①一个棱柱至少有5个面
②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A．1
B．2
C．3
D．4
6．下列命题中，正确的是（
）
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
7．已知一个几何体的三视图如图所示，如果点，在正视图中所示位置，为所在线段中点，为顶点，则在几何体侧面的表面上，从点到点的最短路径的长为（
）.
A．
B．
C．
D．
8．下列说法正确的是（
）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
9．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（
）
A．π
B．
C．
D．
10．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为，、是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是（
）
①圆锥的侧面积为
②母线与圆锥底面所成角的大小为60°
③可能为等腰直角三角形
④面积的最大值为
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
11．以下空间几何体是旋转体的是（
）
A．圆台
B．棱台
C．正方体
D．三棱锥
12．圆亭，为圆台体型的建筑物，《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，则该圆亭的母线与底面所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于（
）
A．30
B．45
C．60
D．75
14．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
16．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(
)
A．
B．
C．
D．
17．如图所示的组合体，其结构特征是（
）
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
18．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（
）
A．7条
B．9条
C．13条
D．14条
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
19.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
，故其总曲率为
．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数
，证明：这类多面体的总曲率是常数．
20．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1．
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
21．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．A
5．C
6．D
7．C
8．C
9．A
10．B
11．A
12．B
13．B
14．C
15．D
16．B
17．D
18．C
19．【答案】
（1）解：由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
则其总曲率为：
.
（2）证明：设顶点数、棱数、面数分别为
、
、
，所以有
设第
个面的棱数为
，所以
所以总曲率为：
所以这类多面体的总曲率是常数.
【解析】（1）利用规定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。
由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合
。再利用四棱锥的结构特征求出四棱锥的总曲率。
（2）
设顶点数、棱数、面数分别为
、
、
，所以有
，
设第
个面的棱数为
，所以
，
从而结合总曲率的求解方法，从而求出这类多面体的总曲率，进而证出这类多面体的总曲率是常数。
20．（1）是棱柱，并且是四棱柱（2）截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1．
21．（1）50cm；（2）4cm