2021届高三三轮回归基础——高考数学25个必考点精编精讲（共342张PPT）

(共342张PPT)
必考点1：指对数的运算
积、商、幂的对数运算法则：
ar－s
ar·s
ar·br
ar＋s
积、商、幂的指数运算法则：
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
其他重要公式:
ax=Nx=logaN
例1
(1)已知loga2＝m，loga3＝n，a2m＋n
＝
.
(2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝
.
解析(1)
a2m＋n
对数恒等式：
＝12.
由题意得：
＝logm2＋logm5
解析(2)
a＝log2m，
b＝log5m．
＝logm10
m＝.
＝2，
∴m2＝10，
12
解析
例2
定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x),
f(x)＝f(x＋4),
且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝(　　)．
A．1
B.
C．－1
D．－
由f(x)＝f(x＋4)
，
得函数的周期为4，
因为
log216
＜log220＜
log232
，
所以f(log220)＝f(log220－4)
＝－f(log2)
＝－(＋
)
C
＝－f(4－log220)
－14
5
＝－1
解析
练:
已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝
；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)．
则f(2＋log23)＝(　　)．
A.
B.
C.
D.
由于1＜log23＜2，
则f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)
＝
＝
?
＝?
A
x>4
＝f(3＋log23)
＝?＝.
＝?
3必考点2：指对幂函数图像及其性质
指、对数函数
指数函数y=ax
(a>0,a≠1)
图
象
性
质
对数函数y=log
a
x
(a>0,
a≠1)
(4)
a>1时,
在R上是增函数；
0(4)
a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(3)过点(0,1),
即x=0
时,
y=1
(3)过点(1,0),
即x=1
时,
y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域：
(0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax
(0x
y
o
1
指、对数函数
图象从左到右,底数逐渐变大.
第一象限中,对数函数底数与图象的关系
第一象限中,指数函数底数与图象的关系
图象从下到上,底数逐渐变大.
y=logax
y=logbx
y=logcx
y=logdx
0例1
设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>c>b
D．a>b>c　
解析
解后
反思
a＝log36＝1＋log32
b＝log510＝1＋log52
c＝log714＝1＋log72
1.对于同底的对数(指数),直接利用相应
的对数(指数)函数的单调性进行比较．
2.对于同真数不同底数的对数,
利用换底公式转化为同底的对数，
再结合不等式的性质比较大小．
也可以利用函数图象比较大小.
D
＝1＋，
＝1＋，
＝1＋，
3.真数,底数均不相同的对数大小比较,
一般选择一个数与之比较，
看能否利用不等式的传递性比较大小.
也可选择一个对数，与其中一个同底,
与另一个同真,转化为上述两种情形,
2
log32>log52>log72
解析
例2
函数f(x)＝，则y＝f(－x+1)的图象是(　　)．
画出y＝f(x)的图象，
再作其关于y轴对称的图象，
得到y＝f(－x)的图象，
再将所得图象向右平移1个单位，
得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．　
C
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点(1,1)；
(3)当α>0时,幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，
且在(0，＋∞)上是单调增函数；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，
在(0，＋∞)上是单调减函数．
幂函数
x
y
O
指数由小到大
幂函数y=xα的图象和性质
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x－1
例3已知幂函数f(x)＝(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0,＋∞)上
是减函数，求满足<
的a的取值范围．
(舍去).
思路：先根据已知条件求出m的值，再由函数的单调性求a的范围
∵m∈N
，∴m＝1,2.
解析　　　　
又∵函数的图象关于y轴对称，
而22－2×2－3＝－3为奇数，
12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m2－2m－3<0，
解得－1∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴m＝1.
∴m2－2m－3是偶数，
∴g(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
考虑g(x)＝
的单调性
原不式等价于a＋1>3－2a>0；
或3－2a或a＋1<0<3－2a.
（1）熟悉幂函数的图像和性质.
（2）分类讨论要全面.
解后
反思
解析
例4
已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别
为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)．
A．x2＜x1＜x3
B．x1＜x2＜x3
C．x1＜x3＜
x2
D．x3＜x2＜x1
x1，x2，x3可转化为直线y＝x
与函数y＝－2x,
y＝－lnx
,
y＝＋1
的交点的横坐标，
易得x1＜0＜
x2
＜1＜x3.　
B
y＝x
y＝－2x
y＝－lnx
y＝＋1
x＝－2x
x＝－lnx
x＝＋1
必考点3：数形结合解决函数问题
例1
当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)．
A.(0,)
B.(,1)
C.(1，)
D.(，2)
解析
B
2
要使得4x＜logax(0＜x≤)，
即当0＜x≤时，函数y＝的图象
在函数y＝logax图象的下方．
当a＞1时，
当0＜a＜1时，
则需loga>2，
∴＜a＜1,即实数a的取值范围是
(,1).　
不符合题意，舍去．
即loga>logaa2
g(x)＝x－1
解析
例2设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式
f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________
.
∵f(x)≥g(x)恒成立，
∴
y＝f(x)的图像始终在y＝g(x)上方.
则－a≤1，
∴a≥－1.　
[－1,＋∞)
1
－a
f(x)＝|x＋a|
(1)先把函数写成分段函数的形式，再作出函数的图象；
(2)y＝kx－2的图象过定点(0,－2)．
y＝
＝
(x1),
1x<1,
x+1,
x<1或x>1,
当直线y＝kx－2从PA旋转到与直线BC平行时，
直线与函数在x轴下方的图象有两公共点；
此时斜率k(0,1)
，
当直线y＝kx－2从与直线BC平行旋转到PB时，
与函数的图象在x轴上下方各有一个公共点
此时斜率k
(1,4)
，
∴实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4)
．
例3
已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，
则实数k的取值范围是________．
解析
分析
例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间
[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有
四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析
解后
反思
∵定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，
即函数图象关于直线x＝2对称，
由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，
∴函数是以8为周期的周期函数．
由对称性知x1＋x2＝－12，
∴
x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
1.若f(x+a)＝－f(x),可知函数f(x)的周期为T＝2a，
若f(2a－x)＝f(x)可知函数图象关于直线x＝a对称.
2.对于客观题型的抽象函数，还可选用特殊化方法，
即选择一个符合题设的具体函数来分析.
8
－8
－4
4
x1
x2
x3
x4
∴f(4－x)＝f(x).
x3＋x4＝4，
－8
f(x)＝－f(－x)
f[(x－4)－4]＝
－
f(x－4)
＝
－[－
f(x)]
例5已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.
设H1(x)＝max{
f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}
表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)
的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)．
A．16
B．－16
C．a2－2a－16
D．a2＋2a－16
令f(x)＝g(x)，
即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，
即x2－2ax＋a2－4＝0，
解得x＝a＋2或x＝a－2.
由题意知H1(x)的最小值是f(a＋2)，
H2(x)的最大值为g(a－2)，
故A－B＝f(a＋2)－g(a－2)
＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2
＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8
＝－16.
解析
B
1
－(a＋2)
1
－(a－2)
必考点4：导数的运算及几何意义
x
y
O
x
y
O
h
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝xn(n∈Q
)
f′(x)＝
f(x)＝sinx
f′(x)＝
f(x)＝cosx
f′(x)＝
f(x)＝ax
f′(x)＝
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
0
nxn－1
cosx
－sinx
axlna
ex
1．[f(x)±g(x)]′＝
；
2．[f(x)·g(x)]′＝
；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
导数的运算法则
题组训练1
[xf(x)]′=
[]′=
[xnf(x)]′=
[]′=
[f(x)]′=
[]′=
[f(x)sinx]′=
[]′=
[f(x)cosx]′=
[]′=
题组训练2
xf
′(x)＋f(x)
xn-1[xf
′(x)＋nf(x)]
[f
′(x)＋f(x)]
f
′(x)sinx＋f(x)cosx
f
′(x)cosx-f(x)sinx
解析
例1：已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式
f(x)＋xf′(x)<0成立,若a＝30.3f(30.3),b＝(logπ3)f(logπ3),
则a，b间的大小关系是(　　)．
A．a=b
B．b>a
C．a>b
D．无法比较
设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，
∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．
又g(x)为偶函数，
∴当x>0时，g(x)为增函数．
∵1<30.3，0∴g(30.3)>g(logπ3)，即a>b.　
C
变1：设f(
x
)是定义在R上的偶函数，且f(1)=0，当x<0时,有
xf
′(x)—f(x)
>0恒成立，则不等式f(
x
)>0的解集是
解析
设g(x)＝，
则g′(x)＝
∴当x<0时，g(x)＝为增函数．
又g(x)为奇函数，
∴当x>0时，g(x)为增函数．
x
y
O
1
－1
>0(x<0)，
(-,-1)(1,+)
变2：设偶函数f(
x
)(0)的导函数是f
′(x)，且f(—1)=0，当x>0时,
有xf
′(x)—2f(x)<0恒成立，则不等式f(
x
)>0的解集是
解析
设g(x)＝，
则g′(x)＝
∴当x>0时，g(x)＝为减函数．
又g(x)为偶函数，
∴当x<0时，g(x)为增函数．
x
y
O
1
－1
<0(x>0)，
(-1,0)(0,1)
可导函数f(
x
)满足，
f(x)′(x)
,
且a>0.
则eaf(0)
f(
a
)（用
“>”
“=”
“<”
号填空）
变3
解析
设g(x)＝，
则g′(x)＝
∴g(x)＝为增函数．
又a>0，则
g(a)
>
g(0)
．
即
∴
eaf(0)a
)
>0，
<
变4：设奇函数f(
x
)定义在(,0)
(0,
)上，其导函数是f
′(x)，且f()=0，
当0f
′(x)sinx—f(x)cosx<0，则不等式f(
x
)<0的解集是
解析
设g(x)＝，
则g′(x)＝
∴当0又g(x)为偶函数，
∴当x(,0)时，g(x)为增函数．
x
y
O
－
(,0)
(,
)
<0(0y=f
(x)
导数的几何意义
函数增长、递减与否与导函数的符号有关，
但函数增长、递减的快慢与导函数符号就无关了．
函数增长、递减快慢与切线斜率之间有关系，
如果切线斜率不小于零，且随着自变量的增大，
切线斜率越来越小，说明函数增长速度越来越慢，
如果切线斜率小于零，且随着自变量的增大，
切线斜率越来越小，说明函数递减速度越来越快.
函数增长、递减快慢与导函数单调性的关系
例2
已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象
如图所示，则该函数的图象是(　　)
解析
由y＝f′(x)的图象知，f′(x)≥0，
f′(x)在区间(－1,0)上递增，
说明y＝f(x)图象的切线斜率随x的增大而增大，
则f(x)区间(－1,0)上增长速度越来越快．
在(0,1)上f′(x)递减，
说明y＝f(x)图象的切线斜率随x的增大而减小，
说明f(x)在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
f′(x)的符号变化决定函数的单调性，
f′(x)的单调性决定f(x)增长、递减速度的快慢．
B
y＝f(x)为增函数．
解后
反思
解析
变1
已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，
B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则(　　)．
A.A>B>C
B.A>C>B
C.B>A>C
D.C>B>A
记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，
则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝，
表示直线MN的斜率，
A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；
C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．
由图象得，A>B>C.　
A
y=logax
变2设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求l的方程；
(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
设f(x)＝，
则f′(x)＝.
∴f′(1)＝＝1，
即切线l的斜率k＝1.
由l过点(1,0)，
得l的方程为y＝x－1.
解析(1)
变2设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求l的方程；
(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
令g(x)＝x－1－f(x)，
则g′(x)＝1－f′(x)
当0∴g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，lnx>0，
g′(x)>0，g(x)单调递增．
∴g(x)>g(1)
即除切点之外，曲线C在直线l的下方．
证明
即证g(x)>0(?x>0，x≠1)
＝.
＝0(?x>0，x≠1)．
必考点5：任意角及三角函数的定义
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
象限角、轴线角
2.终边与角α相同的角的集合
1.角的分类
3.与[α,
β]表示区域相同的角的集合
{β|
β
＝k·3600＋α,
k∈Z}
[k·3600＋α，k·3600＋β]
例题1：如图,写出终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）
x
y
O
1200
2100
－1500
S＝{α|－1500＋k·3600<α<1200＋k·3600,k∈Z}．
x
y
O
变式
已知α是第二象限角,试确定的终边所在的位置．
解析　
k·3600＋900<k·1800＋450<∴的终边在第一或第三象限．