2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第一章3 弧度制学案（含答案）

§3 弧度制
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、了解角的另外一种度量方法——弧度制。 2、能够熟练地进行角度制和弧度制的换算。
3、掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。 重点：1、理解一弧度角的概念。
2、弧度与角度的换算。
难点：扇形的弧长公式和面积公式。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P9“弧度概念”部分
【复习回顾】
1、角度制
（1）1度角的定义：将周角等分360份，其中1份称1度角，记作10；
（2）角度制：用度作为单位度量角的方法，称为角度制，角度制是60进制，10=60′，1′=60″。
思考：用度作为单位度量角有什么不方便的地方？
（1）进位制不同：生活中很多量都是十制，而角度是60进制；
（2）度量基础不同：几何图形的长度、面积、体积等度量，均是建立在单位线段的基础上。
【问题提出】
能否用线段的单位长度建立角的度量制度呢？从而把角和其它几何图形都建立在一个共同的度量基础——单位线段。
（1）下表是半径不等的同心圆中，同一圆心角所对的弧长与半径：
弧长/cm 0.80 0.86 1.21 2.35
半径/cm 0.93 1.00 1.40 2.71
弧长/半径 0.86 0.86 0.86 0.86
由表中的数据，可以得到以下结论：
相等圆心角所对的弧长与半径的比值是常数。
（2） 下表是半径不等的圆中，每个圆心角所对的弧长等于各自的半径：
弧长/cm 3.74 2.67 1.48 1
半径/cm 3.74 2.67 1.48 1
圆心角 57.30 57.30 57.30 ？
由表中数据，可以得到以下结论：
弧长等于半径长的弧所对的圆心角均为57.30。
【抽象概括】
2、弧度制
（1）1弧度角：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，单位符号rad，读作“弧度”（通常单位省略不写）。
（2）弧度制：用弧度作为单位度量角的方法，称为弧度制，弧度制是10进位制。
思考：引进弧度的好处有哪些？
（1）进位制：弧度和实数的进位制相同，都是10进制；
（2）度量基础：和其它几何图形一样可以用单位线段度量；
（3）弧度和实数一一对应：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是零。
二、阅读教材P10“弧度与角度的换算”部分
在单位圆中，圆的周长，则圆周长所对圆心角的弧度为。又周角为，所以。
3、弧度与角度的换算
（1）；
（2）；
（3）。
4、特殊角度与弧度的互化：
角度









弧度









例1 将下列各角化成弧度。
（1）3000； （2）4200； （3）-6000； （4）-15000。
例2 将下列各角化成度。
（1）； （2）； （3）； （4）。
思考：如何用弧度表示四个象限角和轴线角的集合？
象限角 集合表示 轴线角 集合表示
第一象限
x轴正半轴
第二象限
x轴负半轴
第三象限
y轴正半轴
第四象限
y轴负半轴
【思考探究】
如何将角度制扇形弧长公式和面积公式化为弧度制表示？
5、扇形的弧长公式及面积公式
（1）设半径为r，长为l的弧所对的圆心角的弧度数为，弧长公式：
。
（2）设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的面积公式：
。
例3扇形的圆心角为1650，半径为20cm，求扇形的面积。
例4已知的圆心角为，所在圆的半径为，若扇形的周长为，则该扇形中所含弓形的面积是多少？
1、把下列各角的角度化为弧度：
（1）； （2）； （3）； （4）。
2 、把下列各角的弧度化为角度：
（1）； （2）； （3）； （4）。
3、设扇形的弧长为18cm，半径为12cm，求这个扇形的圆心角的弧度数和面积。
4、已知扇形的周长为6cm，面积为2，求扇形的圆心角的弧度数。