6.1平面向量的概念 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）（含答案）

6.1 平面向量的概念
6.1 平面向量的概念

向量的实际背景与概念
定义：我们把既大小又有方向的量叫做向量
向量的几何表示
（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，具有方向的线段叫做有向线段，包含3个要素：起点、方向、长度，A为起点，B为终点的有向线段记作false.
（2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
（3）向量false的大小：向量false的大小称为向量false的长度，（或称模），记作false，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1的单位长度的向量，叫做单位向量.
相等向量与共线向量
（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
（2）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
向量a与b平行，记作a//b
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
（3）任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
例1．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与false共线的向量；
（2）写出与false的模大小相等的向量；
（3）写出与false相等的向量.
【答案】（1）false，false，false，false，false，false，false；（2）false，false，false，false，false；（3）false与false.
【解析】
（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以false.所以与false共线的向量有：false，false，false，false，false，false，false；
（2）由（1）知false且false，又D是BC的中点，故与false模相等的向量有： false，false，false，false，false；
（3）与false相等的向量有：false与false.
例2．已知false，那么false两两一定共线吗？
【答案】false两两共线，且同向．
【解析】
因为false，当且仅当false三个向量同向时成立，
故若false则false三个向量同向，满足两两一定共线．
即若false，则false两两共线，且同向.
1．设false，false，false，则false的大小关系为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
3．设false，false都是非零向量.下列四个条件中，使false成立的条件是（ ）
A．false B．false
C．false D．false且false
4．下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得false是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量false不能表示这个人从A点到B点的位移
5．已知向量false，则与false方向相反的单位向量是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若false，则false；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在false中false，false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．判断下列命题：
①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；
②若false，则false；
③若false，则false与false的方向相同；
④若false且false，则false.
其中正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且false．
（1）当λfalse，求|false|；
（2）求false的最小值．
10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度false，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度false，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当false时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
1．D
【解析】falsefalse为减函数，falsefalse，即false，
falsefalse为减函数，falsefalse，即false，
falsefalse为增函数，falsefalse，即false，
false.
故选：D.
2．A
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
3．C
【解析】false、false分别表示与false、false同方向的单位向量，
对于A：当false时，false，故A错误；
对于B：当false时，若false反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；
对于C：当false时，false，故C正确；
对于D：当false且false时，若false满足题意，此时false，故D错误.
故选：C
4．B
【解析】由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的定义，在直线false上有且仅有两个点使得false为单位长度，所以B正确；
方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义，向量false表示点false到false点的位移，所以D不正确.
故选：B.
5．C
【解析】由题意false，false．
故选：C．
6．B
【解析】由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
7．C
【解析】false，
故选：C.
8．B
【解析】相等向量的长度和方向相同，因此起点相同时，终点也相同，①正确；
两个向量可以相等，但不可能比较大小，②错误；
零向量与任选向量平行，但零向量方向不确定，③错误；
若false，虽然有false且false，但false与false的方向不确定，④错．
故选：B．
9．（1）false（2）false
【解析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（false，false），D（false，false），
∴false（2，0）+λ（false，false）=2falseλ，falseλ），
（1）当λfalse时，false（false，false），则|false|false
（2）∵false（false，false）false（1，0）＝（false，false），
∴false2false，当且仅当λfalse时取得最小值．
10．（1）8次（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
解：记出发点A.
（1）当false时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.
（2）当false时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；
当false时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；
当false时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.