6.2平面向量的运算 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）

914400-2743206.2平面向量的运算
6.2平面向量的运算

向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量false，false在平面内任取一点A，做false=false，false=false，则向量false叫做false与false的和，记作false，即false,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量false，false，以false，false为邻边做falseOACB，则以O为起点的向量false，（OC是falseOACB的对角线）就是向量false与false的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量false，我们规定false+false=false+false=false
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
向量的减法运算
定义：向量false加上false的相反向量，叫做false与false的差，即false，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
相反向量：我们规定，与向量false,长度相等，方向相反的向量，叫做false的相反向量，记作﹣false
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此false和﹣false互为相反量，于是-（-false）=false.
由两个向量和的定义易知false
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量false，false，在平面内任取一点O，作false，false，则false，即false可以表示从false的终点指向向量false的终点的向量
向量的数乘运算
向量数乘的定义
一般地，我们规定实数false与向量false的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作falsefalse，它的长度与方向规定
如下；falsefalse
false当false>0时，falsefalse的方向与false的方向相同；当false<0时，falsefalse的方向与false的方向相反.
由false可知，当false=0时，falsefalse=0
由falsefalse可知，false
向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
例1．已知false的三边长为3，4，5，其外心为false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．0 D．25
【答案】A
【解析】设false的中点为false，则false，即false；
所以false，
同理可得false,
所以false;
故选：A.
例2．若向量false，false满足false2﹣false2＝4，且＜false+false，false﹣false＞＝false，则|false|+2|false|的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解析】解：设false＝false，false＝false，＜false+false，false﹣false＞＝false，可得false＝false，
向量false，false满足false2﹣false2＝4，可得false＝1，所以false，
所以false，
所以false
false
故选：B.
1．已知圆false的半径为1，A，B是圆false上的两个动点，false，则false，false的夹角为（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
2．在false中，若false，false，false，则false（ ）
A．3 B．8 C．4 D．28
3．若向量false、false满足false，false，则false在false方向上的投影为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．在直角false中，false，false，false分别是false的内角false，false，false所对的边，点false是false的重心，若false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．已知false，且向量false与false的夹角为120°，又false，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知非零向量false，false满足false，且false，则向量false，false的夹角false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知false，则false在false方向上的投影为_____．
8．正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为false，false，false，false是该正六角星的顶点，若false，则false______.
9．（1）已知单位向量false与false夹角为60°，且false，求false的值.
（2）已知false，求false与false夹角的余弦值.
10．如图，已知向量false，false，请化简并求作出向量：(3false2false)﹣2(false).
1．A
【解析】设向量false，false的夹角为false，因为false，false，由false可得，
false，解得false或false（舍去），而false，所以false．
故选：A．
2．C
【解析】false，
故选：C.
3．D
【解析】由已知条件可得false，false，
因此，false在false方向上的投影为false.
故选：D.
4．B
【解析】因为false是false的重心，所以false，
false，false，
因为false，
所以false，
所以false，又false是直角三角形，而false，所以false不可能是直角，不妨设false是直角，则false，因此false，false，false，
false．
故选：B．
5．C
【解析】由false，
因为false，且向量false与false的夹角为120°，
所以false，又因为false，
所以false，设false，以false、false为邻边做平行四边形false，如图所示：
因为false，所以平行四边形false是菱形，而向量false与false的夹角为120°，
所以false，
因此false，
因为false，
所以false，因此false
所以有false，
故选：C
6．D
【解析】false，false，false，
false．false，false．
故选：D.
7．false
【解析】false在false方向投影false，
故答案为：false
8．false
【解析】延长false至正六角星一个顶点false，如下图所示：
由题意可知false，则false，
根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知：false，
所以false，
则false.
故答案为：false
9．（1）false；（2）false.
【解析】解：（1）∵单位向量false与false夹角为60°，
∴false?false|false|?|false|cos60°＝1×1false.
∴false（false）?（false2false）false?false2false1false2false.
（2）∵|false|false，∴false7，即2﹣2false9＝7，
∴false2，
∴cosfalse.
故false与false夹角的余弦值为false.
10．false，作图答案见解析.
【解析】(3false)﹣2(false)=3false.
作出向量(3false)﹣2(false)如下图：