6.3 平面向量基本定理及坐标表示 知识集锦+探究重点+即学即用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（机构）

876300-3409956.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3 平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理
平面向量基本定理 如果false，false是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量false,有且只有一对实数false使，false=false.
若false，false不共线，我们把（false，false）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.如图6.3-7，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解就是向量分解中常见而实用的一种情形.
平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和false的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和false.
如图6.3-12，作向量false,false,则
false=false-false
=false
=false.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
平面向量数乘运算的坐标表示
已知false，即false
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若false=false,则false=false+false，或false=false.
如果表示向量false的有向线段的起点和终点的坐标分别为false，false，那么
false
false
平面向量垂直的坐标表示
设false=false，false=false，则false
例1．在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD相交于E，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】A
【解析】由false得false，所以false，
所以false．
故选：A．
例2．如图，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】A
【解析】解：由图知：false，false，则false.
故选：A
1．在false的等腰直角false中，false为false的中点，false为false的中点，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知平面向量false，false，且false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．如图所示，已知在false中，D是边AB上的中点，则false（ ）
A．false
B．false
C．false
D．false
4．向量false，false，则false＝（ ）
A．6 B．5 C．1 D．－6
5．已知向量false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．4
6．已知向量false，false且false，则false（ ）
A．false B．false C．1 D．false
7．已知向量false，false，若false，则实数false___________.
8．在false中，false，false，有下述四个结论：
①若false为false的重心，则false
②若false为false边上的一个动点，则false为定值2
③若false，false为false边上的两个动点，且false，则false的最小值为false
④已知false为false内一点，若false，且false，则false的最大值为2
其中所有正确结论的编号是______．
9．如图，在false中，延长false到false，使false，在false上取点false，使false，设false，false，用false、false表示向量false、false.
10．在false中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以false，false为基底表示false.
1．A
【解析】以false为原点建立直角坐标系，
设false，false，则false，false，
则false，false，
所以false，所以false.
故选：A
2．A
【解析】由已知条件可得false，
false，可得false，
因为false，因此，false.
故选：A.
3．B
【解析】false.
故选：B
4．A
【解析】由于false，false，则false
所以false
故选：A
5．A
【解析】因为false，false，
所以false，false
故选:A
6．A
【解析】由题意：false，
false，
又false，所以false，
解得false，
故选：A.
7．1
【解析】∵false，false，且false，
∴false，解得false.
故答案为：1.
8．①③
【解析】在false中，false，false，所以三角形是等腰直角三角形,
如图所示：
①取BC的中点D，因为false为false的重心，则false，故正确；
②若false为false边上的一个动点，向量false在false上的投影为false，所以false，故错误；
③如图所示：
以A为原点，分别以AB，AC为x,y轴，建立平面坐标系，则false，直线BC的方程为，false，
因为false，false为false边上的两个动点，设false，且false，不妨设false，
因为false，则 false，即false，所以false，
所以falsefalsefalse，当false时，等号成立，所以false的最小值为false，故正确；
④如图所示：
false，设false，因为false，所以false，即false，
设false，且false，又false，
所以false，
因为false，所以false，所以false无最大值，则false无最大值，故错误.
故答案为：①③
9．false，false.
【解析】false，
false.
10．false
【解析】false，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以false，
所以false.