(共29张PPT)
22.4矩形的性质
冀教版
八年级下
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别和联系；
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
复习引入
1.什么叫平行四边形？
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
.
①平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.
②平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
③平行四边形的对角线互相平分.
2.平行四边形有哪些性质？
如图是一个平行四边形的活动框架,改变框架的形状:
当框架改变到
(符合某一条件时),该四边形就为矩形.
新
知
探
索
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(长方形).
矩形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
A
C
B
D
与平行四边形性质不同之处：
从角上看
矩形的四个内角都是直角
A
C
B
D
：矩形的四个角都是直角
已知：如图:四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
∴
∠B+∠C=180
°
∴∠C=90°
同理：∠D=90°
，∠A=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
命题
性质定理
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
∵矩形ABCD是平行四边形，不妨设
∠B=90°
∴AB//DC
证明：
∟
矩形的两条对角线相等
从对角线上看：
已知：如图:四边形ABCD是矩形，求证：
AC
=
BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
BC
=
AD
有∠ABC
=
∠DAB
=
90°
又∵AB
=
BA
∴△ABC≌△BAD
∴AC
=
BD
：矩形的对角线相等．
命题
性质定理
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AC
=
BD
矩形的特殊性质
1从角上看：
矩形的四个内角都是直角；
2从对角线上看：
矩形的两条对角线相等。
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线
互相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=4cm
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD(矩形的对角线相等).
OA=
OC=
OB
=
OD
∵∠AOD=120°，∴
∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AO=BO=AB=4(cm
)
∴AC=2OA=8(cm）∴矩形对角线的长是8cm.
A
B
C
D
O
典例精析
A
B
C
D
O
提示：∠AOD=120°
→
∠ACB=30°→
AC=2AB
=2×4=8.
你还有其他解法吗？
矩形具有，一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
练一练
AB=CD
AD=BC
AC=BD
OA=OC=OB=OD=
AC=
BD
O
D
C
B
A
相等的线段：
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC
∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB
△
OBC
△OCD
△OAD
直角三角形有：
Rt△ABC
Rt△BCD
Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC
≌
Rt△BCD
≌
Rt△CDA
≌
Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
已知四边形ABCD是矩形
集训营
A
B
C
D
O
矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长
15cm，较短边的长为（
）．
(A)12cm
(B)10cm
(C)7.5cm
(D)5cm
C
变式练习：
（A）矩形的对角线互相平分
（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形
（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
1）下列说法错误的是（
）．
C
公平,因为OA=OC=OB=OD
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
A
B
C
D
如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，
EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的
周长为16，且CE=EF，求AE的长.
A
D
B
C
F
E
大家谈谈
∟
矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为
B
A
C
D
E
3
1
B
A
C
D
E
1
3
12cm2
或4cm2
小试牛刀
矩形的
两条对角线互相平分
矩形的对边平行
边
对角线
角
矩形的对边相等
矩形的对角相等
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
A
B
C
D
O
矩形ABCD中,DF平分∠ADC,交AC于E,交BC于F,
∠BDF＝15°,求∠DOC和∠COF的度数.
E
F
O
D
A
B
C
能力提升
如图,在矩形ABCD中,AB＝3,AD
＝4,P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，求PE＋PF的值.
P
O
F
E
D
A
B
C
矩形ABCD的周长是56cm,对角线AC与BD相交于点O,△OAB与△
OBC的周长差是4cm,则矩形ABCD的对角线长是
.
A
B
C
D
O
20cm
学以致用
做一做
如图,BO是Rt△ABC斜边AC上的中线,请画出△ABC关于点O对称的图形.
D
四边形ABCD有什么特点?
A
B
C
O
谈谈收获：
矩形的性质有哪些?
布置作业
课本136页A组题和B组题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
22．4 矩形第1课时 （矩形的性质）
01 基础题
知识点1 矩形的四个内角都是直角
1．矩形具有的性质是(
)
A．四边相等
B．四角相等
C．对角线互相垂直
D．每一条对角线平分一组对角
2．如图，现有一张矩形纸片(即矩形ABCD)，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数为(
)
A．180°
B．240°
C．270°
D．330°
3．(2020·连云港)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处．若∠DBC＝24°，则∠AEB等于(
)
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
4．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB.
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
知识点2 矩形的两条对角线相等
5．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(
)
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
6．(2020·保定定兴县期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝4，则线段OB的长为(
)
A．8
B．4
C．3
D．2
7．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(
)
A．8
B．6
C．4
D．2
8．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是(
)
A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm
9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
求证：BD＝BE.
10．(2020·云南)已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC.若AB＝6，AC＝2，则DE的长是（
）
11．(2020·石家庄新乐市期末)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为(
)
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
12．(2020·唐山路北区一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为(
)
A．3
B．4
C.
D．5
13．(教材P136习题A组T3变式)(2020·唐山二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且GE＝GF，则四边形BCFE的面积为(
)
A．10
B．9
C.
D.
14．(2020·沈阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.
(1)求证：△AOM≌△CON.
(2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为
．
15．如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.过点D作DH⊥BE于点H，G为AC的中点，连接GH.
(1)求证：BE＝AC.
(2)判断GH与BE的数量关系并证明．
16．【操作性问题】(2020·邢台沙河市模拟)在一张长为8
cm，宽为6
cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5
cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有(
)
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
22．4 矩形第1课时 （矩形的性质）
01 基础题
知识点1 矩形的四个内角都是直角
1．矩形具有的性质是(B)
A．四边相等
B．四角相等
C．对角线互相垂直
D．每一条对角线平分一组对角
2．如图，现有一张矩形纸片(即矩形ABCD)，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2的度数为(C)
A．180°
B．240°
C．270°
D．330°
3．(2020·连云港)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处．若∠DBC＝24°，则∠AEB等于(C)
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
4．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB.
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
解：(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°.∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)．
∴DF＝AB.
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°.∴AD＝2DF.
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
知识点2 矩形的两条对角线相等
5．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(C)
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
6．(2020·保定定兴县期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝4，则线段OB的长为(D)
A．8
B．4
C．3
D．2
7．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)
A．8
B．6
C．4
D．2
8．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是(D)
A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm
9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
求证：BD＝BE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD.
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE.
∴BD＝BE.
10．(2020·云南)已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC.若AB＝6，AC＝2，则DE的长是或．
02 中档题
11．(2020·石家庄新乐市期末)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为(A)
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
12．(2020·唐山路北区一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为(B)
A．3
B．4
C.
D．5
13．(教材P136习题A组T3变式)(2020·唐山二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且GE＝GF，则四边形BCFE的面积为(D)
A．10
B．9
C.
D.
14．(2020·沈阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.
(1)求证：△AOM≌△CON.
(2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠M＝∠N.
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON(AAS)．
15．如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.过点D作DH⊥BE于点H，G为AC的中点，连接GH.
(1)求证：BE＝AC.
(2)判断GH与BE的数量关系并证明．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.
∵AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE＝AC.
(2)GH＝BE.
证明：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，G为AC的中点，
∴G为BD的中点，AC＝BD.
∵DH⊥BE，即∠DHB＝90°，∴GH＝BD.
∵AC＝BD，AC＝BE，∴GH＝BE.
16．【操作性问题】(2020·邢台沙河市模拟)在一张长为8
cm，宽为6
cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5
cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有(C)
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【解析】有两种情况：①当∠EAF为顶角时，如图1，此时AE＝AF＝5
cm；②当∠EAF为底角时，有两种情况：如图2、图3，此时AE＝EF＝5
cm.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
