6.4平面向量的运用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案

1971040-4095756.4平面向量的应用
6.4平面向量的应用
15113016510学习指南
学习指南
①、利用正余弦定理理解三角形
②、掌握平面几何中的向量方法
8255273685概念探知
概念探知
③、理解三角形的实际应用
余弦定理、正弦定理
1、余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
falsefalse,false
余弦定理得推论；
cosA=false，cosB=false,cosC=false
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
false
二、正弦定理的变形：
1.false
2.false
三、正、余弦定理的综合运用
三角形的面积公式
三角形面积的公式
Sfalse=false
Sfalse=falsefalsefalse
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-29210219710问题探究
问题探究
1.△ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .已知 (3?cosA)c=acosC .
（1）求 cb ；
（2）若 cosA=c2b ，且 △ABC 的面积为 9114 ，求 a .
【答案】 （1）解：因为 (3?cosA)c=acosC ，
所以由正弦定理可得 3sinC?cosAsinC=sinAcosC ，
即 3sinC=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C) ，
而 sin(A+C)=sinB ，所以 3c=b ，
故 cb=33
（2）解：由（1）知 cosA=36 ，则 sinA=336 ，
又 △ABC 的面积为 12bcsinA=114c2=9114 ，
则 c=3 ， b=33 .
由余弦定理得 a2=b2+c2?2bccosA=27+9?2×33×3×36=27 ，
解得 a=33
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理
【解析】(1)根据题意由正弦定理整理化简再由两角和的正弦公式即可求出结果。
(2)由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式以及三角形的面积公式计算出b与c的值，然后与余弦定理代入数值计算出答案即可。
2.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 b=1 ，面积 S=a28sinA ，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
⑴ B=π6 ;
⑵ B=C .
【答案】 解：由三角形的面积公式可知， S=12absinC ，
∴12absinC=a28sinA ，
整理得 4bsinAsinC=a,
由正弦定理得: 4sinBsinAsinC=sinA,
因为 sinA≠0 ， ∴4sinBsinC=1,
∴sinBsinC=14 ，
若选择条件（1）由 B=π6 ：得 sinB=12 ，则 sinC=12 ，
又 ∵A,B,C 为三角形的内角， ∴B=C=π6 ， ∴A=2π3,
由正弦定理得 asinA=bsinB=csinC
代入 b=c=1, 解得 a=3 ，
∴ 三角形的周长为 2+3.
若选择条件（2） B=C ，则由 B=C ，得 sinB=sinC,
又 sinBsinC=14 ， ∴sinB=sinC=12
又 ∵A,B,C 为三角形的内角， ∴B=C=π6, ∴A=2π3 .
由正弦定理得: asinA=bsinB=csinC ，
代入 b=c=1, 解得 a=3 ，
∴ 三角形的周长为 2+3.
【考点】正弦定理
【解析】 （1）选 ?B=π6 ，由已知结合正弦定理及三角形的面积公式可先求出c，C，结合已知数据分析得等腰三角形，即可求解；
（2）选B=C，由等腰三角形形状及三角形面积公式及正弦定理可求B，C，进而可求A，a，从而可求．
3.在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a(sinA?sinB)+bsinB=csinC .
（1）求角 C ；
（2）若 c=3 ， a+b=6 ，求 △ABC 的面积.
【答案】 （1）解：由正弦定理，得 sinA=a2R ， sinB=b2R ， sinC=c2R ，
又 a(sinA?sinB)+bsinB=csinC ，所以 a2+b2?c2=ab .
由余弦定理，得 cosC=a2+b2?c22ab=ab2ab ，
故 cosC=12 .
又 C∈(0,π) ，所以 C=π3
（2）解：由余弦定理，得 a2+b2?ab=9 .
联立方程组，得 {9=a2+b2?aba+b=6 ，
化简，得 {ab=9a+b=6 ，
解得 {a=3b=3 ，
所以 △ABC 的面积 S=12absinC=934
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】(1)结合正弦定理整理化简已知的代数式即可得到a2+b2?c2=ab ， 再由余弦定理代入数值计算出cosC的值，结合角的取值范围即可求出角C的值。
(2)由余弦定理整理得到关于a与b的方程组求解出其值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
4.在① asinC=csin(A+π3) ，② b=acosC+33csinA ，③ acosB+bcosA=2ccosA ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， △ABC 外接圆面积为 43π ， sinB=2sinC ，且? ▲? ， 求 △ABC 的面积．
【答案】 解：若选①：因为 asinC=csin(A+π3) ，
在 △ABC 中，由正弦定理得 sinAsinC=sinCsin(A+π3) ，
因为 0所以 sinA=sin(A+π3)=12sinA+32cosA ，
即 12sinA=32cosA ，所以 tanA=3 ，
因为 0因为 △ABC 外接圆面积为 43π ，所以半径 r=233 ，
由 asinA=2r 得 a=2×233×32=2 ，
又 sinB=2sinC ，所以 b=2c ，
由余弦定理 a2=b2+c2?2bccosA 得 4=4c2+c2?2c2 ，
解得 c2=43 ，即 c=233 ， b=433 ，
所以 S△ABC=12bcsinA=12×433×233×32=233 ．
若选②：由正弦定理得 sinB=sinAcosC+33sinCsinA ，
sin(A+C)=sinAcosC+33sinCsinA ，
sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+33sinCsinA ，
化简得： cosAsinC=33sinCsinA ，
因为 0因为 0其余步骤同①．
若选③：由正弦定理得： sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA ，
所以 sin(A+B)=2sinCcosA ，所以 sinC=2sinCcosA ，
因为 0因为 0其余步骤同①．
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】 结合所需条件及正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理可求a及b，c的关系，再由余弦定理及三角形面积公式可求．
-8509021590练一练
练一练
1.在 △ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?54??????????????????????????????????????????C.?43??????????????????????????????????????????D.?32
2.△ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若 a=5 ， c=2 ， cosA=23 ，则 b= （??? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?3
3.在 ΔABC 中，若 3sinA+cosA=1 ， AB=2 ， AC=3 ，则边 BC 的长为（??? ）
A.?7???????????????????????????????????????B.?19???????????????????????????????????????C.?10???????????????????????????????????????D.?4
4.在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则“ a=2bsinA ”是“ B=π6 ”的（??? ）．
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
参考答案
1.【答案】 C
【解析】
在 △ABC 中，由 a=csinB 及正弦定理得： sinA=sinCsinB ，
∴sin(B+C)=sinBsinC ，
即 sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC ，
两边除以 sinBsinC 可得 1tanC+1tanB=1 ，
∴1≥21tanBtanC ，即 tanBtanC≥4 ，当且仅当 tanB=tanC=2 等号成立，
则 tanA=?tan(B+C)=?tanB+tanC1?tanBtanC=tanBtanCtanBtanC?1=11?1tanBtanC ，
则当 tanBtanC=4 时， tanA 取得最大值为 43 。
2.【答案】 D
【解析】
由已知 a2=b2+c2?2bccosA ，即 5=b2+4?2b×2×23 ，解得 b=3 ．
3.【答案】 B
【解析】
由题意可知： 2sin(A+π6)=1?sin(A+π6)=12 ，
故 A+π6=π6 或 5π6 ，
其中A=0不成立，则 A=2π3 ，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB×AC×cosA=19，
∴ BC=19 .
4.【答案】 B
【解析】
由正弦定理和已知得 sinA=2sinBsinA ，
因为 0所以 sinB=12 ，由于 0所以 B=π6 或 B=5π6 ，
所以“ a=2bsinA ”是“ B=π6 ”的必要不充分条件.