7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案

1852930-4406907.2复数的四则运算
7.2复数的四则运算
86360156845学习指南
学习指南
①、了解复数的四则运算
②、掌握复数四则运算的应用
③、理解复数运算中的常用结论
-45720111125概念探知
概念探知
一、复数的加、减法法则
设false=false，false=falsefalse是任意两个复数，
那么他们的和（false）+（false）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
1、复数的加法运算律
对任意false，false，false∈C,有
（1）交换律：false+false=false+false
（2）结合律：（false+false）+false=false+（false+false）
2、复数的减法法则
设false=a+bi，false=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则false-false=（false）-（false）=（a-c）+（b-d）i.
二、复数的乘、除法法则
设false=false，false=false，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（false）（false）=ac+bci+adi+bdfalse=（false）+（false）false
1、复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（false）÷（false）=false+falsei（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
2、复数的运算的常用结论
127001288415问题探究
问题探究
（1）false（1+i）（1-i）=2；falsefalse；false；false；
false=0（N∈false）.
（2）false
1.设复数 z=2?3i1+2i .
（1）求z的共轭复数 z ；
（2）设 a∈R ， |z+ai|=1 ，求 a 的值.
【答案】 （1）解：因为 z=2?3i1+2i=(2?3i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=2?4i?3i+6i25=?4?7i5=?45?75i ；
所以 z=?45+75i ；
（2）解：因为 z+ai=?45?75i+ai=?45+(a?75)i ，
所以 |z+ai|=(?45)2+(a?75)2=1 ，解得 a=45 或 a=2 .
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念求得 z? ；
（2）把（1）中化简得到的z代入z+ai，利用复数模的公式列式求解a的值．
2.设 z1 是虚数， z2=z1+1z1 是实数，且 ?1≤z2≤1 .
（1）求 |z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围；
（2）若 ω=1?z11+z1 ，求证 ω 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 z2?ω2 的最小值.
【答案】 （1）解：由 z1 是虚数，设 z1=a+bi(a,b∈R,b≠0) ，则
z2=z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i ，
因为 z2 为实数，所以 b?ba2+b2=0 且 b≠0 ，所以 a2+b2=1
所以 |z1|=1 ，
此时 z2=2a ，
因为 ?1≤z2≤1 ，所以 ?1≤2a≤1 ，得 ?12≤a≤12
（2）解：因为 ω=1?z11+z1=1?(a+bi)1+(a+bi)=[(1?a)?bi][(1+a)?bi](1+a)2+b2 ，且 a2+b2=1 ，
所以 ω=?b1+ai ，
因为 b≠0 ， ?12≤a≤12 ，所以 ω 为纯虚数
（3）解： z2?ω2=2a+b2(1+a)2=2a+1?a2(1+a)2=2a+1?a1+a=2[(a+1)+1a+1]?3 ，
由 ?12≤a≤12 ，得 (a+1)+1a+1≥2 ，
故当且仅当 a+1=1a+1 ，即 a=0 时， z2?ω2 有最小值1
【考点】基本不等式，复数代数形式的混合运算
【解析】（1）设出复数 z1 ，写出 z2 的表示式，进行复数的运算，把 z2 整理成最简形式，再根据所给 z2 的范围，得到 z2 的虚部为0，实部属于这个范围，得到 z1 的实部的范围；（2）根据设出的 z1 ，整理 ω 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到 ω 是一个纯虚数；（3） z2?ω2=2a+b2(1+a)2=2a+1?a2(1+a)2=2a+1?a1+a=2[(a+1)+1a+1]?3 ，再利用基本不等式即可求得结果。
3.已知复数 z1=a+i ， z2=1?i ， a∈R ．
（Ⅰ）当 a=1 时，求 z1?z2 的值；
（Ⅱ）若 z1?z2 是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若 z1z2 在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
【答案】 解：（Ⅰ）由题意 z1?z2 =(1+i)(1+i)=1+2i+i2=2i ；
（Ⅱ）由题意 z1?z2=(a?1)+2i 为纯虚数，则 a?1=0 ，所以 a=1 ；
（Ⅲ） z1z2=a+i1?i=(a+i)(1+i)(1?i)(1+i)=a+ai+i+i22=a?12+a+12i ，对应点 (a?12,a+12) ，它是第二象限点，则 {a?12<0a+12>0 ，解得 ?1【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】 （Ⅰ） 根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ） 由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ） 由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
4.设 z 为复数 z 的共轭复数，满足 |z?z|=23 ．
（1）若 z 为纯虚数，求 z ；
（2）若 z?z2 为实数，求 |z| ．
【答案】 （1）解：设 z=bi ， b∈R ，则 z=?bi ，
因为 |z?z|=23 ，则 |2bi|=23 ，即 |b|=3 ，
所以 b=±3 ，所以 z=±3i .
（2）解：设 z=a+bi ， (a,b∈R) ，则 z=a?bi ，
因为 |z?z|=23 ，则 |2bi|=23 ，即 |b|=3 ．
z?z2 ＝ a+bi?(a?bi)2=a?a2+b2+(b+2ab)i ．
因为 z?z2 为实数，所以 b+2ab=0 .
因为 |b|=3 ，所以 a=?12 ，
所以 |z|=(?12)2+(±3)2=132 .
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
419101287145练一练
练一练
【解析】(1)首先根据题意求出共轭复数z=?bi ， 结合复数的模的定义结合已知条件|z?z|=23即可求出|b|=3从而得出复数z。
(2)根据题意由已知条件整理得出a+bi?(a?bi)2=a?a2+b2+(b+2ab)i结合题意即可得到b+2ab=0由此求出a=?12 ， 再结合复数模的公式计算出结果即可。
1.设复数 z 满足 |z?(1+i)|=1 ，则 |z| 的最大值为 （??? ）
A.?2?1??????????????????????????????????????B.?2+1??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?3
2.A ， B 是锐角三角形 ABC 的两个内角，则复数 z=(sinA?cosB)+(cosA?sinB)i 对应的点位于（?? ?）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.复数 (3+i1?i)2= （? ）
A.??3?4i???????????????????????????????B.??3+4i???????????????????????????????C.?3?4i???????????????????????????????D.?3+4i
4已知i为虚数单位，且复数 |3+4i|z=1?2i ，则复数z的共轭复数为（??? ）
A.??1+2i???????????????????????????????B.??1?2i???????????????????????????????C.?1+2i???????????????????????????????D.?1?2i
参考答案
1【答案】 B
【解析】
设 z=a+bi,a,b∈R ， |z?(1+i)|=|a?1+(b?1)i|=1 ， (a?1)2+(b?1)2=1 ，
|z|=a2+b2 相当于圆 (x?1)2+(y?1)2=1 上的点到原点距离的最大值，
即圆心到原点距离加半径： 2+1 .
2.【答案】 D
【解析】
A ， B 是锐角三角形 ABC 的两个内角，则 π2π2?B ，
A∈(0,π2) ， π2?B∈(0,π2) ，
故 sinA>sin(π2?B)=cosB ，即 sinA?cosB>0 ，
故 cosA故 z=(sinA?cosB)+(cosA?sinB)i 对应的点位于第四象限.
3.【答案】 B
【解析】
(3+i1?i)2=(3+i)2(1?i)2=8+6i?2i=?3+4i
4.【答案】 D
【解析】
因为 |3+4i|z=1?2i ，所以 5z=1?2i ，则 z=51?2i=5(1+2i)(1?2i)(1+2i)=1+2i ，
因此复数z的共轭复数为 1?2i 。