7.3复数的三角表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册学案

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1819910-4464057.3复数的三角表示
7.3复数的三角表示
①、了解复数的三角表示式
②、掌握复数相等的充要条件
③、理解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
187325156845概念探知
概念探知
一、复数的三角表示式
记向量的模false=false=r,由图7.3-1可以得到，false
所以，false=rcosfalse=r（cosfalse+sinfalse），
其中 r=false，
cosfalse=false，
sinfalse=false.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角false表示复数z.
（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为 r=（cosfalse+icosfalse）的形式
其中，r是复数z的模；false是以x轴的非负半轴为始，向量false所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cosfalse+isinfalse)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
（2)规定：在0≤false<2π范围内的辐角false的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，false,falsefalse,false=π,false=false
二、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1263655723890问题探究
问题探究
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
false=false（cosfalse+isinfalse）·false（cosfalse+isinfalse）
=falsefalse（cosfalse+isinfalse）（cosfalse+isinfalse）
=falsefalse[(cosfalsecosfalse-sinfalsesinfalse)]
=falsefalse[cos（false+false）+isin（false+false）
则
false(cosfalse+isinfalse)·false(cosfalse+isinfalse)
=falsefalse[cos(false+false)+isin(false+false)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
1、复数除法运算的三角表示
设false=false(cosfalse+isinfalse),false=false(cosfalse,+isinfalse),且false≠false.因为
false(cosfalse+isinfalse)·false[cos(false-false)+isin(false-false)]=false(cosfalse+isinfalse)，
所以根据复数除法的定义，有，
false[cos(false-false)+isin(false-false]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.
（1）请写出梯形数的通项公式 an （不要求证明），并求数列 {an} 的前 n 项和 Sn ;
（2）若 bn=1Sn ，数列 {bn} 的前 n 项和记为 Tn ，求证： Tn<1 .
【答案】 （1）解：根据观察可归纳得： an={2,n=12n+1,n≥2 ，
进一步： Sn=n2+2n?1
（2）解：易知 bn=1n2+2n?1 ，
bn=1n2+2n?1≤1n2+n=1n?1n+1 ，
则 Tn≤(1?12)+(12?13)+(13?14)+?+(1n?1n+1)=1?1n+1<1
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，归纳推理，反证法与放缩法
【解析】(1)利用归纳推理的方法归纳得到梯形数的通项公式，再利用分类讨论的方法借助等差数列前n项和公式求出数列前n项的和。
（2）利用数列an的前n项和公式Sn求出数列bn的通项公式，再利用放缩法借助裂项相消求数列的和的方法证出不等式成立。
2.已知复数 z1=a-2i ， z2=3+4i （ a∈R ，i为虚数单位）.
（1）若 z1?z2 是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数 z1?z2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
【答案】 （1）解：依据 z1?z2=(a?2i)?(3+4i)=(3a+8)+(4a?6)i
根据题意 z1?z2 是纯虚数， {3a+8=04a?6≠0 ， a=?83 ；
（2）解：根据题意 z1?z2 在复平面上对应的点在第四象限，可得
{3a+8>04a?6<0??83所以，实数a的取值范围为 {a|?83【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】(1)由纯虚数概念明确实数 a 的值；(2) 点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
3已知复数 z=(a2?4)+(a+2)i,a∈R ．
（1）若 z 为实数，求实数 a 的值；
（2）若 z 为纯虚数，求实数 a 的值；
（3）若 z 在复平面上对应的点在直线 x+2y+1=0 上，求实数 a 的值．
【答案】 （1）解：若 z 为实数，则 a+2=0 ， a=?2
（2）解：若z为纯虚数，则 {a2?4=0a+2≠0 ，
解得实数a的值为2；
（3）解： z 在复平面上对应的点 (a2?4，a+2) ，
在直线 x+2y+1=0 上，则 a2?4+2(a+2)+1=0 ，即 a2+2a+1=0
解得 a=?1 ．
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】（1）由?z 为实数则虚部为0列式，即可求出实数?a?的值；
（2）由?z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0列式，即可求出实数?a?的值；
（3）由?z 在复平面上对应的点 (a2?4，a+2) ，满足直线的方程代入列出方程，即可求出实数?a?的值；
4.已知复数 z=i?m2+(3i+1)m+2i?1 .
（1）当实数m取什么值时，复数z是1；
（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】 （1）解： z=i?m2+(?3i+1)m+2i?1=(m?1)+(m2?3m+2)i .
当 {m?1=1,m2?3m+2=0, 即 m=2 时，z为1.
（2）解：当 m?1=m2?3m+2 ，即 m=1 或 m=3 时， z 为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】（1）根据实部为1，虚部为零可求m的值；（2）根据实部和虚部相等可求 m 的值.
2095557785练一练
练一练
1.任何一个复数 z=a+bi （其中 a,b∈R ，i为虚数单位）都可以表示成 z=r(cosθ+isinθ) （其中 r≥0 ， θ∈R ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： [r(cosθ+isinθ]n=rncosnθ+isinnθ,(n∈N+) ，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“ n 为偶数”是“复数 (cosπ4+isinπ4)m 为纯虚数的是（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
2.在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；④已知复数 z 满足 (1+i)z=3?i ，则 z 在复平面内所对应的点位于第四象限.其中说法正确的个数为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 z=eiπ?i ，则 |z|= （??? ）.
A.?22???????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?22
4.欧拉公式 eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位， x∈R ， e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， e2018i 表示的复数在复平面中位于（?? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
参考答案
1.【答案】 B
【解析】
(cosπ4+isinπ4)m=cosmπ4+isinmπ4 为纯虚数，故 cosmπ4=0 且 sinmπ4≠0 ，
故 m=2+4k ， k∈Z ，故 n 为偶数是 m=2+4k ， k∈Z 的必要不充分条件.
2.【答案】 C
【解析】
对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确；
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由 (1+i)z=3?i ，得 z=3?i1+i=(3?i)(1?i)(1+i)(1?i)=2?4i2=1?2i ，所以，复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
因此，正确的命题为①③④.
3.【答案】 C
【解析】
解：由题意得， z=eiπ?i=cosπ+isinπ?i=?1?i ，
所以 |z|=(?1)2+(?1)2=2 ，
4.【答案】 B
【解析】
e2018i＝cos2018+isin2018，
∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈ (π2,π) ，
∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＜0．
sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，
∴e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限．