第四章 三角形 单元练习卷2020-2021学年北师大版七年级数学下册（Word版 含解析）

第4章 三角形
一．选择题
1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在（　　）
A．三角形内部 B．三角形的一边上
C．三角形外部 D．三角形的某个顶点上
2．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，15 C．5，7，12 D．3，9，13
3．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（　　）
A．60°≤α＜90° B．60°＜α＜180° C．60°＜α＜90° D．0°＜α＜90°
4．下列判断正确的是（　　）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
5．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（　　）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
6．已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
二．填空题
7．如果在△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是　 　．
8．四条线段的长分别为5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成　 　个三角形．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是　 　cm．
10．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝　 　．
11．如图，∠A＝∠D，AC＝DF，则需要补充条件：　 　（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．
12．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为　 　．
13．如所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有　 　．
14．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B＝50°，∠C＝70°，则∠EAD＝　 　．
三．解答题
15．如图，已知△ABC≌△EFC，且CF＝5，AC＝12，∠EFC＝50°，求∠E的度数和AB的长．
16．已知：如图，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，
求证：BM+CN＝MN．
17．已知：如图，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF．你能说出它们相等的理由吗？
18．如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，分别交CM，CN于点P，Q．△ACN和△MCB全等吗？说明理由．
19．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
（请你将下列证明过程补充完整．）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1．
则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD＝B1D1．
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
第4章 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题
1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在（　　）
A．三角形内部 B．三角形的一边上
C．三角形外部 D．三角形的某个顶点上
【分析】根据三角形的高的性质即可判断．
【解答】解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．
故选：A．
2．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，15 C．5，7，12 D．3，9，13
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、4+5＞6，5﹣4＜6，能够组成三角形；
B、6+8＜15，不能构成三角形；
C、5+7＝12，不能构成三角形；
D、3+9＜13，不能构成三角形．
故选：A．
3．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（　　）
A．60°≤α＜90° B．60°＜α＜180° C．60°＜α＜90° D．0°＜α＜90°
【分析】根据三角形的内角和是180°可知．
【解答】解：三角形中最大的角不能小于60°，如果小于60°，则三角形的内角和将小于180°，
又该三角形是锐角三角形，则最大角必须小于90°，故最大角的取值范围是60°≤α＜90°．
故选：A．
4．下列判断正确的是（　　）
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析．
【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；
B、30°角没有对应关系，不能成立；
C、如果这个角是直角，此时就不成立了；
D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．
故选：D．
5．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（　　）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
【分析】因为等腰三角形的一个角为75°，没有明确说明是底角还是顶角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：当75°角为底角时，顶角为180°﹣75°×2＝30°；
75°角为顶角时，其底角＝＝52.5°，
所以其顶角为30°或75°．
故选：D．
6．已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【分析】解此题的关键是三角形全等的判定定理的准确应用．三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°；
∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO（AAS）．
∴AD＝AE，
∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，
∴△ADC≌△AEB（ASA）．
∴AB＝AC，
∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴DB＝EC；
∵∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（AAS）．
故选：A．
二．填空题
7．如果在△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是　4cm＜c＜10cm　．
【分析】根据三角形的三边关系即可确定C的范围，即可求解．
【解答】解：C的范围是：（7﹣3）cm＜c＜（7+3）cm，
即4cm＜c＜10cm，
故答案为：4cm＜c＜10cm．
8．四条线段的长分别为5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成　2　个三角形．
【分析】首先每三条组合得到所有的情况，再进一步根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：首先发现每三条可以组合为5、6、8；5、6、13；5、8、13；6、8、13；
再根据三角形的三边关系，可知能构成三角形的为：5、6、8和6、8、13．
因此可构成2个三角形．
故答案为：2．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是　17　cm．
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故答案为：17．
10．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝　135°　．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA，再根据角平分线的定义求出∠DAB+∠DBA，然后利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA＝180°﹣90°＝90°，
∵锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，
∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝×90°＝45°，
在△ABD中，∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
11．如图，∠A＝∠D，AC＝DF，则需要补充条件：　AB＝DE　（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．
【分析】要证明三角形全等，一定找出全等的三个条件，本题知道两个，只需添加一条边或一对角分别对应相等，结合图答案可得．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AC＝DF，
若△ABC≌△DEF，
要添加AB＝DE．
故填AB＝DE．
12．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为　14cm　．
【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB＝∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO＝∠OBC，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝OD，
同理：OE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC＝14cm．
故答案是：14cm．
13．如所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有　①③④　．
【分析】由∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB＝∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠EAM＝∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C＝∠B，AC＝AB，∠CAN＝∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．
【解答】解：在△ABE和△ACF中，
∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠B＝∠C，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠EAB＝∠FAC，AE＝AF，AB＝AC，
∴∠EAB﹣∠MAN＝∠FAC﹣∠NAM，即∠EAM＝∠FAN，
在△AEM和△AFN中，
∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠EAM＝∠FAN，
∴△AEM≌△AFN，
∴EM＝FN，∠FAN＝∠EAM，故选项①和③正确；
在△ACN和△ABM中，
∠C＝∠B，AC＝AB，∠CAN＝∠BAM（公共角），
∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；
若AF∥EB，∠F＝∠BDN＝90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，
则正确的选项有：①③④．
故答案为：①③④
14．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B＝50°，∠C＝70°，则∠EAD＝　10°　．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
故答案为：10°．
三．解答题
15．如图，已知△ABC≌△EFC，且CF＝5，AC＝12，∠EFC＝50°，求∠E的度数和AB的长．
【分析】根据全等三角形性质求出AB＝EF，AC＝CE＝12，∠ACB＝∠ECF，求出∠ECF，根据勾股定理求出AB，根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF，AC＝CE＝12，∠ACB＝∠ECF，
∵∠ACB+∠ECF＝180°，
∴∠ECF＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠CFE﹣∠ECF＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
由勾股定理得：AB＝EF＝＝＝13．
答：∠E的度数是40°，AB的长是13．
16．已知：如图，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，
求证：BM+CN＝MN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠6＝∠2，∠3＝∠5，然后求出∠1＝∠6，∠4＝∠5，根据等角对等边的性质可得BM＝DM，CN＝DN，然后列式求解即可得证．
【解答】证明：∵BD、CF平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵MN∥BC，
∴∠6＝∠2，∠3＝∠5，
∴∠1＝∠6，∠4＝∠5，
∴BM＝DM，CN＝DN，
∴BM+CN＝DM+DN，
即BM+CN＝MN．
17．已知：如图，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF．你能说出它们相等的理由吗？
【分析】首先连接CE、BF，然后根据条件可证明△ABF≌△DEC，再根据全等三角形的性质可得∠3＝∠4，BF＝EC，然后证明△BCF≌△EFC可得BC＝EF．
【解答】解：连接CE、BF，如图．
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC（SAS）．
∴∠3＝∠4，BF＝EC．
∵∠AFC＝∠DCF，
∴∠AFC﹣∠3＝∠DCF﹣∠4．
即∠1＝∠2．
在△BCF和△EFC中，
∴△BCF≌△EFC（SAS）．
∴BC＝EF．
18．如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，分别交CM，CN于点P，Q．△ACN和△MCB全等吗？说明理由．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACM＝∠BCN＝60°，CA＝CM，CN＝CB，可得到∠MCN＝60°，则∠ACN＝∠BCM＝120°，然后根据“SAS”可证明△ACN≌△MCB．
【解答】解：△ACN和△MCB全等；
理由：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM＝∠BCN＝60°，CA＝CM，CN＝CB，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACN＝∠BCM＝120°，
∵在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
19．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
（请你将下列证明过程补充完整．）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1．
则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD＝B1D1．
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，首先易证得△ADB≌△A1D1B1然后易证出△ABC≌△A1B1C1．
【解答】证明：（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1．
则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD＝B1D1．
补充：∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°．
∴△ADB≌△A1D1B1（HL），
∴∠A＝∠A1，
又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1，
在△ABC与△A1B1C1中，
∵，
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）；
（2）解：若两三角形（△ABC、△A1B1C1）均为锐角三角形或均为直角三角形，则它们全等（AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1，则△ABC≌△A1B1C1）．