广东省东莞第四高中2020-2021学年高一下学期5月数学第14周周测试 Word版含答案

2020-2021年东莞四中高一下学期数学第14周周测试
班级： 姓名： 成绩：
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设（为虚数单位），则（ ）
A.1 B. C. D.
2．如图，正方形中，是的中点，若则（　　）
A． B． C. D．
3．已知平面向量的夹角为，且为单位向量，，则（ ）
A. B. C. D.
4． 在中，内角的对边分别为,且，则边（ ）
A． B． C． D．
5．设是给定的平面，是不在内的任意两点.有下列四个命题：
①在内存在直线与直线异面； ②在内存在直线与直线相交；
③存在过直线的平面与垂直； ④存在过直线的平面与平行.
其中，一定正确的是
A. ①②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
6．已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
8．在中，,为的中点，当长度最小时，的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，全对5分，不全2分，共20分.
9．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）．
A．对应的点在第三象限 B．的虚部为
C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上
10．对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（ ）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90~100分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.
①②适宜采用分层抽样 B．②③适宜采用分层抽样
C．②适宜采用分层抽样 D．③适宜采用简单随机抽样
11.下列选项中,抽样方法不是简单随机抽样的是
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)
12．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D．三棱锥D1?APC的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知为虚数单位，，计算的结果为_______．
14．已知的内角的对边分别为，满足，，则外接圆的面积为______
15.已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为_________.
16. 如图2，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子恰好在正八面体的
顶点上，而硫原子恰好是正八面体的中心.若把该分子放入
一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为______.
四、解答题: 本大题共4小题，共10+12+12+12=46分.
17. 的内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求；
（2）若，，为边上的中线，求的长．
18．已知复数满足 (其中是虚数单位).
（Ⅰ）在复平面内，若复数的共轭复数对应的点在直线上，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为.
（1）若向量与向量共线，求；（2）若与垂直，求．
20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中是的中点，和交于点，且平面
（1）证明：平面平面
（2）求点到平面的距离.
东莞四中高一数学周测（14）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 C A C D B C D D AB CD ABC ABD 0
8
8.【解析】在中，设
在中，由余弦定理得：（1），
在中，由余弦定理得：，即（2），
由（1）（2）得：，又，
所以，所以，
所以当时，的最小值为，
即长度最小值为，此时，是等边三角形，易得其面积为.
15.将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，为的中点，为底面外接圆的半径，由正弦定理得，由，得，所以球的表面积为.
17. （1）由题设和正弦定理可得，， ------------1分
因为，所以，于是 --------------------2分
--------------------4分
因为，所以，即， --------------------5分
因为，所以. --------------------6分
（2）因为，，，由余弦定理得
所以， --------------------8分
所以，故， --------------------10分
在中，．
18．解：（Ⅰ）因为, ， ————1分
∴的共轭复数，∴ 在复平面内对应的点是， 依题意 ∴ ————5分
（Ⅱ）∵，∴， ∴. ————10分
19．解:法一（1）∵，故或 ………………………3分
∵向量向量 ………………6分
法二（1），
………………………2分 ………………………6分
（2）法一：依题意，，故 ……………8分

法二:
即又
………………………8分
.
20.（1）因为 是的中点，所以四边形是平行四边形，
又因为所以四边形是正方形，所以；
又因为,所以, --------------------1分
又因为，所以,故; --------------------2分
因为平面平面所以； --------------------3分
又因为，平面 所以平面
因为平面，所以平面平面 --------------------6分
（2）由（1）知四棱锥为正四棱锥，故
又所以是等边三角形，即， --------------------7分
设点到平面的距离为，得； --------------------8分
由,得为等腰直角三角形，故 ---------9分
因为是直角三角形，且，所以,得;
由得，解得， --------------------11分
所以点到平面的距离为 --------------------12分
东莞四中高一数学周末练习题答案（第13周）
一、选择题
1、A 2、D 3、D 4、BC 5、AD 6、BCD
2．由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
所以球在底面△内的投影的圆面最大不能超出△的内切圆.
设圆与△内切，设圆的半径为.
由，，，则
由等面积法得，得.
由于三棱柱高，若球的半径，此时不能保证球在三棱柱内部，
所以直三棱柱的内切球半径的最大值为.
所以球的体积的最大值为：.
4．解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故A错误；
若，且，则，可能相交?平行也可能异面，故D错误
7．由题意知，，所以 8．
9．由三视图可知，该几何体为圆锥的，圆锥的底面半径，高，因此该几何体的体积为
10．设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得；故答案为5.
11．如图，设到侧面的距离为，
是棱长为的正四棱锥，，
.解得.
12． (1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，
∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．
(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四边形ABCD是正
方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(3) 当M是PC中点时，PA//平面MBD
连接BD交AC与点N，连接MN，正方形ABCD中，N是AC中点，又M是PC中点，所以MN//PA
, ，所以PA//平面MBD
13．（1）因为二面角的大小等于90°，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，
同理，可得平面，
所以，故四点共同面；
（2）因为平面， 平面， ，所以是四棱锥的高，点到平面的距离等于点到平面，又， ， ，
所以.