第十八章达标测试卷
一、选择题
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
【答案】A
【解析】
分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2.下列四组数中不能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A.
1，2，
B.
3，5，4
C.
5，12，13
D.
4，13，15
【答案】D
【解析】
A.
1?+2?=()?，故是直角三角形，正确；
B.
3?+4?=5?，故是直角三角形，正确；
C.
5?+12?=13?，故是直角三角形，正确；
D.
4?+13?≠15?，故不是直角三角形，故本选项错误。
故选D.
3.直角三角形一条直角边长是另一条直角边长的，斜边长为10，则它的面积为(
)
A.
10
B.
15
C.
20
D.
30
【答案】B
【解析】
解：直角三角形的一条直角边是另一条直角边的，设较短直角边是a，另一直角边是3a，根据勾股定理得：a2+（3a）2=100，解得：a=，则另一直角边是，则面积是：××=15．故选B．
点睛：本题是勾股定理的应用，根据勾股定理得到方程，转化为方程问题．
4.如图，P是第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则P点的坐标为( )
A.
(2，2)
B.
(，)
C.
(2，)
D.
(，2)
【答案】B
【解析】
【分析】
由点P是第一象限的角平分线上一点,可设点P的坐标为(x,y);
过P作PA⊥x轴,则△POA是直角三角形,PA=OA=a,接下来在Rt△POA中,根据勾股定理的知识即可求出a的值,
【详解】过P作PA⊥x轴,
设点P的坐标为(x,y),
∵点P是在第一象限的角平分线上
∴点P的横坐标x与纵坐标y相等
∴,
即
解得：x=y=,
∵是第一象限的角平分线上
∴P(，),
故选：B
.
【点睛】本题考查勾股定理在直角坐标系中的应用.
5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A.
9
B.
6
C.
4
D.
3
【答案】D
【解析】
【分析】
已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选：D.
【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
6.有一个三角形的两边长分别是4和5，若这个三角形是直角三角形，则第三边长为( )
A.
3
B.
C.
3或
D.
无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
本题注意要分两种情况讨论是解题的关键：因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析；然后根据勾股定理列等式求解即可.
【详解】当第三边为斜边时，第三边==；
当边长为5的边为斜边时，第三边==3.
所以第三条边长为或3.
故选C.
【点睛】本题考查勾股定理.
7.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A.
7.5平方千米
B.
15平方千米
C.
75平方千米
D.
750平方千米
【答案】A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
8.在Rt△ABC中，斜边c＝10，两直角边a≤8，b≥8，则a＋b的最大值是( )
A.
10
B.
14
C.
8
D.
16
【答案】B
【解析】
【分析】
已知斜边的长，分别假设两直角为8，然后根据勾股定理求得另一直角边的长，再结合题意进行分析从而求解．
【详解】∵在Rt△ABC中，斜边c=10，两直角边a?8，b?8.
∴①当a=8时,b==6<8，不符合题意，故舍去；
②当b=8时,a==6<8，符合题意；
∴a+b的最大值=6+8=14.
故选B.
【点睛】本题考查勾股定理.
9.
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A.
B.
3
C.
1
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
10.欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（
）
A.
的长
B.
的长
C.
的长
D.
的长
【答案】B
【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
二、填空题
11.如图是八里河公园水上风情园一角的示意图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，如果黄芳同学想从A岛到C岛，至少要经过____________m.
【答案】370
【解析】
【分析】
根据题意，从A岛到C岛的最短距离是线段AC的长，连接AC，根据勾股定理即可求解.
【详解】
连接AC，由已知可得
=+
AC==370m.
故答案为370.
【点睛】本题考查勾股定理.
12.三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x?-14x＋48=
0的两个根，则这个三角形是
三角形
【答案】直角
【解析】
设三角形的另外两边分别为a、b，∵另两边是一元二次方程的x2﹣14x+48=0的两个根，
∴解方程得到a=6，b=8，∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形．
13.如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为
．
【答案】
【解析】
方法一：设这一束光与轴交与点，过点作轴的垂线，
过点作轴于点．
根据反射性质，知．
所以．所以．
已知，，，则．
所以，．
由勾股定理，得，，所以．
方法二：设设这一束光与轴交与点，作点关于轴的对称点，过作轴
于点．
由反射性质，知这三点在同一条直线上．
再由对称的性质，知．
则．
由题意易知，，由勾股定理，得．所以．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为m/s，若点P的运动时间为t秒，则当△ABP是直角三角形时，时间t的值可能是_____．
【答案】32s或50s
【解析】
分析：分∠APB与∠PAB两种情况进行分类讨论，当∠APB=90°时，AP⊥BC，根据等腰三角形的性质可得出BP=CP，故可得出t的值；当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，由等腰三角形的性质得出BE=CE，用t表示出PE的长，再由勾股定理即可得出结论．
详解：如图1中，当∠APB=90°时，AP⊥BC．
∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=CP=BC=8cm，∴t=8，解得：t=32秒；
如图2中，当∠PAB=90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E．
∵AB=AC，AE⊥BC=8，
∴BE=CE=BC=8，∴PE=BP﹣BE=t﹣8．
在Rt△AEC中，AE2=AC2﹣CE2，即AE2=102﹣82，解得：AE=6cm．
在Rt△PAB中，AP2=BP2﹣AB2．在Rt△AEP中，AE2=PE2+AE2，∴（t）2﹣100=（t﹣8）2+36，解得：t=50（秒）．
综上所述：t的值为32秒或50秒．
故答案为：32s或50s．
点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
15.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，∠B＝30°，根据30°角直角三角形的性质可得AC=10，再由勾股定理即可求得BC的长.
【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.
∴AC＝AB＝×20＝10.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.
【点睛】本题考查勾股定理.熟记定理是关键.
16.如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积.
【答案】36．
【解析】
试题分析：由AB=4，BC=3，∠B=90°可得AC=5．可求得S△ABC；再由AC=5，AD=13，CD=12，可得△ACD为直角三角形，进而求得S△ACD，可求S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==5．
∴S△ABC=AB?BC=×4×3=6．
在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．
∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169．
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴S△ACD=AC?CD=×5×12=30．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．
17.如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离.
【答案】P岛与M岛之间的距离为34海里．
【解析】
【分析】
由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解．
【详解】解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，
∴MP＝＝34海里．
答：P岛与M岛之间的距离为34海里．
【点睛】本题考查勾股定理的应用.
18.如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
【答案】15m
【解析】
解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠CAB=30°。∴AB=BC=30m。
设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE=x，
又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，
解得：x=15。∴CE=15m。
答：小丽自家门前的小河的宽度为15m。
根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度。
19.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2
＋
CF2的值．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．
【详解】解：∵
B、C、D三点在一条直线上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°.
∴CE2
＋
CF2＝EF2
.
∵EF＝10，
∴CE2＋CF2＝102＝100.
【点睛】本题考查勾股定理,
角平分线线的性质.
20.一副直角三角板如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，试CD的长.
【答案】15﹣5．
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
【详解】过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
21.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4
（A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
（B）
∴c2=a2+b2
（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：
；
（2）错误的原因为：
；
（3）本题正确的结论为：
．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
22.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
【答案】（1）不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.
【解析】
试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，
设CH=x，由已知有∠EAC=45°,
∠FBC=60°
则∠CAH=45°,
∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中，
tan∠HBC=
∴HB===x，
∵AH+HB=AB
∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5
根据题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
23.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可.
【详解】解：(1)点B的坐标是（3,4）
∵
AB=BD=3，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45，
则∠DAE=∠BAD=45，
则Ey轴上。
AE=AB=BD=3，
∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为(0,1)；
故答案为(3,4),(0,1)；
(2)点E能恰好落在x轴上．
理由如下：
∵四边形OABC为长方形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，
由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，
由勾股定理可得EC＝＝＝2，
则有OE＝OC－CE＝m－2.
Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
故答案为(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理.第十八章达标测试卷
一、选择题
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
2.下列四组数中不能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A
1，2，
B.
3，5，4
C.
5，12，13
D.
4，13，15
3.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的，斜边长为10，则它的面积为(
)
A
10
B.
15
C.
20
D.
30
4.如图，P是第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则P点的坐标为( )
A.
(2，2)
B.
(，)
C.
(2，)
D.
(，2)
5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A.
9
B.
6
C.
4
D.
3
6.有一个三角形的两边长分别是4和5，若这个三角形是直角三角形，则第三边长为( )
A.
3
B.
C.
3或
D.
无法确定
7.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A
7.5平方千米
B.
15平方千米
C.
75平方千米
D.
750平方千米
8.在Rt△ABC中，斜边c＝10，两直角边a≤8，b≥8，则a＋b的最大值是( )
A.
10
B.
14
C.
8
D.
16
9.
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A.
B.
3
C.
1
D.
10.欧几里得《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（
）
A.
的长
B.
的长
C.
的长
D.
的长
二、填空题
11.如图是八里河公园水上风情园一角的示意图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，如果黄芳同学想从A岛到C岛，至少要经过____________m.
12.三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x?-14x＋48=
0的两个根，则这个三角形是
三角形
13.如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为
．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为m/s，若点P的运动时间为t秒，则当△ABP是直角三角形时，时间t的值可能是_____．
三、解答题
15.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．
16.如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积.
17.如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离.
18.如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
19.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2
＋
CF2的值．
20.一副直角三角板如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，试CD的长.
21.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4
（A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
（B）
∴c2=a2+b2
（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：
；
（2）错误的原因为：
；
（3）本题正确的结论为：
．
22.如图，要在木里县某林场东西方向两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
23.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
